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1、第七章 常微分方程简介我们已经学完一元函数微积分的基本内容回顾微积分的产生和发展，就会发现它与人们求解微分方程的需要有密切关系20世纪以前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学，而现在它几乎渗透到自然科学和一些社会科学的各个领域，已成为人们研究科学技术，解决实际问题的不可缺少的有力工具本章我们主要介绍常微分方程的基本概念，一阶微分方程的初等解法，可降阶的高阶方程及常系数线性方程的求解方法，它是本课程的一个重要组成部分 7.1 基本概念1. 微分方程及其解的定义利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，一般先要建立数学模型，再对数学模型进行简化和求解，最后结合实际问题对结果进
2、行分析和讨论数学模型最常见的表达方式是包含自变量和未知函数的方程，在很多情况下未知函数的导数(或微分)也会在方程中出现，于是便自然地称这类方程为微分方程定义7.1.1 联系着自变量、未知函数及其某些导数的方程称为微分方程 只含一个自变量的方程称为常微分方程，自变量多于一个的称为偏微分方程微分方程中实际出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶于是阶常微分方程的一般形式是 ， (1.1)其中是个变元的已知函数，且一定出现(注意，这里我们仅引用了多元函数的记号，它是一元函数记号在形式上的推广) 本章只介绍常微分方程，并简称为微分方程或方程定义7.1.2 如果方程(1.1)的左边函数对未知函数和它的各阶导
3、数的全体而言是一次的，则称它为线性微分方程，否则称它为非线性微分方程阶线性微分方程的一般形式是：， (1.2)其中和都是的已知函数例如，下面的方程都是常微分方程： ， (1.3) ， (1.4) (是常数)， (1.5)它们的阶数分别为1，1，2方程(1.5)是线性的，而方程(1.3)和(1.4)是非线性的定义7.1.3 设函数在区间上连续，且有直到阶的导数，若把及其相应的各阶导数代入方程(1.1)，得到关于的恒等式，即在上 ，则称为方程(1.1)在区间上的解，若由关系式所确定的隐函数是方程(1.1)的解，则称为方程(1.1)的隐式解例如，从定义7.1.3可以直接验证：1) 函数和都是方程(1
4、.3)在区间上的解，而是它的隐式解2) 函数是方程(1.4)在区间上的一个解，而是方程(1.4)在区间上的解，其中为任意常数3) 函数，都是方程(1.5)在区间上的解，而且对任意常数和，也是方程(1.5)在区间上的解今后对解与隐式解不加区别，统称它们为解一般情况下也不再指明解的定义区间从上面的讨论可知，微分方程的解可以包含一个或几个任意常数(与方程的阶数有关)，而有的解不含任意常数为了加以区别，我们给出如下定义：定义7.1.4 方程(1.1)的含有个独立的任意常数的解称为它的通解不含任意常数的解称为它的特解这里说个任意常数是独立的，其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个数减少例如对于两个任意
5、常数的情形，设函数在区间上连续，若在上常数或常数，则称函数在上线性无关，这时易知表达式 中的两个任意常数是独立的例1 验证函数是方程(1.5)的通解，其中为任意常数解 ， ，将的表达式代入方程(1.5)有 ， ，所以对任意常数，都是方程(1.5)的解，又由于 常数 (，Z)即是两个独立的任意常数，因此是方程(1.5)的通解类似验证 (A,B为任意常数)也是方程(1.5)的通解而和则是方程(1.5)的两个特解定义7.1.5 为了确定方程(1.1)的特解而给出的附加条件称为定解条件，求方程(1.1)的满足定解条件的特解的问题称为定解问题方程(1.1)的一种常用的定解条件是初始条件，它的一般提法是
6、， ， (1.6)其中， ，是任给的个常数求方程(1.1)满足初始条件(1.6)的解的问题称为初值问题或柯西(Cauchy)问题例如是初值问题 的解，而是初值问题 的解它们都是在求得方程的通解以后，再利用初始条件定出通解中的任意常数而得出这种做法是具有一般性的可以证明：对于在一定范围内给出的个常数：， ，利用通解表达式及初始条件(1.6)便可确定通解中的个任意常数，从而得到相应的初值问题的解换句话说，在一定范围内，通解包含了方程的所有解，这也是通解这一名词的一种名副其实的解释2. 微分方程及其解的几何解释考虑一阶微方程 (1.7)其中是平面区域D内给定的连续函数方程(1.7)的解在平面上的图形
7、是一条光滑曲线，称它为方程(1.7)的一条积分曲线，记作任取一点，即，由于满足方程(1.7)，故按导数的几何意义可知，曲线在点的切线斜率为 这说明曲线上任一点处的切线斜率恰好等于方程右边函数在该点的函数值这样，在区域D内每一点，都可以作一个以函数在该点的值为斜率的小线段来表明积分曲线(如果存在的话)在该点的切线方向区域D连同所有这些小线段称为方程(1.7)的方向场现在我们可以对微分方程(1.7)及其解作出几何解释：给定方程(1.7)，就相当于给定平面区域D内的一个方向场，反之给定区域D内的一个方向场，就相当于给定一个形如(1.7)的方程方程(1.7)的解所对应的积分曲线就是区域D内这样的一条曲
8、线，在它所经过的每一点都与方向场吻合，即曲线上每一点的切线方向都与方向场在该点的方向一致求解初值问题 ，就是求一条经过点并与方向场吻合的光滑曲线以上这种几何解释，无论在理论上还是在实用上都有很大的价值从理论上说，它把作为解析对象的微分方程及其解与作为几何对象的方向场及积分曲线沟通起来，从而在微分方程这门学科建立了数与形的联系，这就为我们从几何的角度去分析和思考微分方程的理论问题找到了入口从实用上说，我们可以通过作出方向场来画出积分曲线的大概图形这在无法(或无必要)求出解的精确表达式时，使我们能从微分方程本身的特有性质去推断出它的解的某些属性，从而使所讨论的问题在一定程度上获得解决例2 证明：与
9、微分方程 (1.8)的积分曲线关于坐标原点(0, 0)成中心对称的曲线，也是方程(1.8)的积分曲线证 设是方程(1.8)的一条积分曲线，以代，代，得关于原点成中心对称的曲线，即 由于满足方程(1.8)，故有 ，上式中以代，得，或将它改写为，可见亦满足方程(1.8)所以它也是方程(1.8)的一条积分曲线 7.2 一阶微分方程的初等解法本节讲述一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，因此也称初等积分法虽然能用初等积分法求解的方程属特殊类型，但它们却经常出现在实际应用中,同时掌握这些方法与技巧，也为今后研究新问题时提供参考和借鉴1. 变量分离方程形如 (2.1)的方程称为变量分
10、离方程，其中和都是连续函数当时，把(2.1)改写为 (称为分离变量)，两边积分，得通解(隐式通解) (2.2) 这里我们把积分常数明确写出来，而把，分别理解为和的一个确定的原函数在微分方程课程中，我们总是作这样的理解若存在，使，则直接验证可知也是方程(2.1)的解(称为常数解)一般而论，这种解会在分离变量时丢失，且可能不含于通解(2.2)中，应注意补上这些可能丢失的解例1 求方程 (2.3)的通解，其中为连续函数解 分离变量 ，两边积分得 或 令，则 此外是方程的常数解若允许，则此解也含于上式中所以方程(2.3)的通解为 (2.4)其中为任意常数例2 解方程 解 分离变量 ，两边积分得方程的通
11、解 ，或此外由找到原方程的两个特解 ，但它们不能并入通解2. 可化为变量分离方程的特殊类型1) 形如 (2.7)的方程称为齐次方程，其中是连续函数通过变量代换，可将(2.7)化为变量分离方程，然后按变量分离方程求解令，或，则 ，代入(2.7)得 ，或 这是一个变量分离方程例3 解方程 解 令，代入方程得 ，或 (2.8)分离变量并积分，得(2.8)的通解 此外也是(2.8)的解代回原变量得原方程的通解 及特解 例4 解方程 解 令,或，则代入方程得，即分离变量并积分，有 从而推出 ，或 ，代回原变量得，其中为任意常数2) 形如 (2.9)的方程可化为齐次方程或变量分离方程，其中是连续函数，都是常数，且，分两种情形讨论：1) 若，则，因为如果，由于，
