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1、表达并证明余弦定理的方法表达并证明余弦定理的方法表达并证明余弦定理方法一 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，假设三边为a，b，c 三角为A，B，C ，那么满足性质a2 = b2+ c2 - 2bccosAb2 = a2 + c2 - 2accosBc2 = a2 + b2 - 2abcosCcosC = (a2 + b2 - c2) / (2ab)cosB = (a2 + c2 -b2) / (2ac)cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc)(物理力学方面的平行四边形定
2、那么中也会用到)第一余弦定理(任意三角形射影定理)设ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，那么有a=bcos C+ccos B， b=ccos A+acos C， c=acos B+bcos A。表达并证明余弦定理方法二 如图，有a+b=c(平行四边形定那么：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴cc=(a+b)(a+b)(以上粗体字符表示向量)又Cos(π-θ)=-Cosθ再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC即 CosC=(a2+b2-c2)/2*a*b同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就
3、是将CosC移到左边表示一下。平面几何证法在任意ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a那么有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2b2=c2+a2-2ac*cosBcosB=(c2+a2-b2)/2ac表达并证明余弦定理方法三 (1)三角形的三条边长，可求出三个内角(2)三
4、角形的两边及夹角，可求出第三边。(3)三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)断定定理一(两根判别法)：假设记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值假设m(c1,c2)=2,那么有两解假设m(c1,c2)=1,那么有一解假设m(c1,c2)=0,那么有零解(即无解)。注意：假设c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。断定定理二(角边判别法):一当absinA时当ba且cosA0(即A为锐角)时，那么有两解当ba且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,那么
5、有零解(即无解)当b=a且cosA0(即A为锐角)时，那么有一解当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,那么有零解(即无解)当b 二当a=bsinA时当cosA0(即A为锐角)时,那么有一解当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，那么有零解(即无解)三当a 例如：ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理cos A=0所以∠A=90.再如ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。解 由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB_ACcos A=4+9-2_2_3_cos60=13-12x0.5=13-6=7第 页 共 页
