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1、数值逼近考试范围 1.数值逼近作业1提高篇.7.第一套参考试卷7.第二套参考试卷 8.练习试题9.参考资料：做的习题、以及附录中3套自测题考试时要求带 计算器。闭卷。数值逼近考试范围数值逼近作业作业：课本 P25 : 16，17，191,n 1,2,。若yo21.41 ,(3位有效数字)，计算到。时解：由y021.41得误差满足(y。*)1210 2又yn10yn11 知 y110y1,从而S) 10 (y*)又y210y11 知(y2*) 1C)(y1*)依此类推：(y2*)102(y*),最终(y*)1010 (y。*)1 序列yn满足递推关系yn 10yn 1误差有多大？计算过程稳定吗？
2、(参考作业P25 : 19题)计算到y10时误差为108，这个计算过程不稳定。作业1 :用拉格朗日和牛顿方法计算：课本P61 : 4 , 51 . 当x=1,-1,2 时f(x)=0,-3,4, 求f(x)的二次插值多项式。解:Xo1,X11,X22, f (Xo) 0, f (X1)3,f (X2) 4;lo(X)(X X1)(X X2)、.;h(x)(X。xj(x X2)(X X0)(X X2)(X1 Xo)(X1 X2)l2(X)则二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)yk(x)k 03l0(x) 4l2(x).5x2-x6 2X0.40.50.60.70.8ln(x)2 .给出f(x)=
3、ln(x)数值表如下用线性插值和二次插值计算ln( 0.54)的近似值，并估计误差。解：采用线性插值法计算In0.54即f(0.54)，则0.5 0.54 0.6基函数：l1(x)-X X210(xXI X20.6)；l2(x).10(x 0.5)线性插值：L1(x)f (X1)h(x)f(X2)l2(X).插值：L1(0.54)0.6.若采用二次插值法计算ln0.54 时，l0(x)；x x1)(x).；l1(x)(x X0)(XX2).；l2(x)(x X1)(XX2)(X1 X)(X1X2)二次插值：L2(x)f (X0)l(X)f (X1)h(X)f (X2)l2(X)插值:L2(0.
4、54)0.615319840.615320误差:自己做一下。3.求次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足P(0) P (0)0, P(1)P(1)1, P(2)2。提示：方法有2341、方程组法，最简单。假设 P(x) ao aix a2xa3xa4x ；代入条件得5个方程，求解ao, ai,a2, a3,a4。2、牛顿差商法，难度中等。建立差商表，注意导数应作为重节点处理。3、拉格朗日方法，复杂，但看上去专业。4.给定数据(此题要求：掌握思路)X0.250.300.390.450.53y0.50000.54770.62450.67080.7280求3次样条插值函数满足：S (0.25)1.
5、000,S(0.53)0.6868提示：h0X1X00.05, h1X2 X10.09, h20.06,h3 0.08533,计算：1 , 23,411457924计算：1 , 23, 011457计算：f xo,xi心)似)0.9540,Xi X。f x-i,x20.8533, f x2,x30.7717, f x3,x40.7150计算：,6 八,f洛必 f心/d。(f xX2f。).,d1 62-%h0 g6d2 .,d3., d4( f 4 f x3, x4 ).h36.7593(0.303x).,x 0.25,0.302.7117(0.39x)3.,x0.30,0.392.8647(
6、0.45x)32.2422( x30.39)10.4186(0.45x) 10.9662( x 0.39)x 0.39,0.451.6817(0.53x)31.3623( x30.45)8.3958(0.53x) 9.1087( x 0.45)x 0.45,0.53将 M 0, M1,M2, M3,M4 代入得课本 P73 (3.9)(j0,1,2,3)得:S(x)2 15 2 9得方程组：3 2 23 210 12 3 4 M M MM M0 12 3 4 d d d d dM MMo 1mm得2.0278,1.4643作业3 :逼近与拟合1 选取参数a，使得maxx3 ax达到最小。解题思
7、路：此题可以用最小零偏差定理做。注意：区间必须3令f(x) x ax ,因为f (x)在1,1 上为奇函数，所以-1,1 max x30 x 1ax max x31 x 1ax | f| (此时已经转到区间-1,1上了 )又Q f (x)的最高次项系数为1，且为3次多项式。1 - 亠、133(x)3 T3(x)与0的偏差最小。即3(X)T3(X) .,解得有a o2 442.求f(x)=sinx 在0, /2上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。(此题练习)得法方程组为故f(X)关于2 2一 32 52 3271a00.1171875.解得a.1a?.3span 1,x2,x4的最佳平方逼近多项
8、式为*S (X)a0a1x2a2x4解：定义若(f, g)1f (x)g(x)dx，且 0241, 1 x , 2 x ，贝y2220 22,|2II2(f, 0)1,(f, 1)1，(f, 2)1,(0, 1)1,( 0 , 2)32 ,( 1, 2)5类似题目：课本P103例13 .求f(x)=|x|在-1,1上关于span1,x 2,x4的最佳平方逼近多项式。274.f(x)=sin(/2)x在-1,1上按勒让德多项式展开求3次最佳平方逼近多项式。解：按勒让德多项式P0(x), E!(x), P2(x), P3(x)展开，先计算：121(f(x),P(x)sin 一1 2xdx cos
9、x201(f(x),R(x)1xsi n -1 xdx .2(f(x)R(x)1 3 21(x1 2)si n xdx2 2(f(x)R(x)再计算 a；(f(x),P(x)/20,a13( f (x),R(x)/212 * , a2.,a3从而f (x)的三次最佳平方逼近多项式为S*(x) a；Po(x) a；R(x) a；P2(x) a；P3(x)1.5531913X0.5622285X3t/秒00.91.93.03.95.0s/米0103050801105.观察物体的直线运动，得出下列数据:s a bt，令span 1,t ，则0： 6, 1：53.63,( 0, 1)14.7,( 0,
10、s)280,( 1,s) 1078,6. a280a .则法方程组为14.7 . b从而解得b .求运动方程。(注：线性拟合)解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程故物体运动方程为S 22.253761 7.855048作业5积分1.确定下列求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高。f (x)dxAf( h)Af(0) A2f (h)解：参见课件。1 x2 dx, n x1-,f(x)8h-f(a)2h2.分别用T和S计算积分:解：(1)n8,a0,b041,h复化梯形公式为：T88 ；0642 sind ,n 6472k 1x2xf (xQf(b)复化辛普森公式
11、为：S8- f(a) 467f(Xkl)27f(Xk)f(b)(2)同理计算，特别注意：三角函数要用弧度计算。14.辛普森公式计算积分e xdx，并估计误差0解:S 罟f(a)4咛)fg误差：R(f)b a1801180(0,1)6.若用复化梯形公式计算：exdx，问区间0,1等分多少才使得误差1 10 5 ?若用复化辛普森公式计算，问区间0,1等分多少才使得误差2 10 5 ？1e1解：采用复化梯形公式：Rn(f)石h2|f()h2，若Rn(f) ? 10 5，则解得h26 10 5，当对区间0,1进行等分时，h -,故有n212.85, 因此，将区间213等分时en可以满足误差要求。采用复化辛普森公式：Rn(f)12880h4| f(4)( )|h2880101解得h4，当对区间0,1进行等分时n 故有nh3.71，因此，将区间4等分时可以满足误差要求。7 用 Romberg公式计算积分dxkTSCR030.771743190.72806910.713512280.71698200.71328700.713272320.71420060.71327270.71327170.7132710因此 I 0.713727第7章作业322、为求x x 10在1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式(1)x12，迭代公式xk
