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1、精 品 数 学 文 档最新精品数学资料3.3 复数的几何意义互动课堂疏导引导1.复数的几何意义 复数的几何意义实质是复数的两种几何表示方法，即复数的点表示和向量表示.复数对应的点与复数对应的向量之间是一一对应的关系.复数z=a+bi对应的向量的模叫做复数的模，它是复数对应的点到原点的距离，具体公式是z=.2.注意以下问题(1)复平面上虚轴含原点；与模相等且同向，则它们表示同一复数，但是只有向量的起点在原点O时，此向量才与它的终点表示同一复数；对于复数z=a+bi，若无a、bR这一条件，就不能视a为实部，b为虚部，在理解概念时，要善于利用数形结合的思想.(2)抓住复数的分类，明确复数问题实数化是
2、解决问题的最基本的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的条件.(3)数的概念扩展为复数后，实数集中有些概念、运算、性质不再适用，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.(4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的. 即 这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.(5)应注意,复数z=a+bi用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).(6)对于复数a+
3、bi(a、bR),当b=0时,复数a+bi就是实数,由上面的公式,有|a|=.这与以前关于实数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对值概念的扩充.3.复数加法的几何意义 复数的加法可以按照向量的加法来进行.4.复数减法的几何意义 复数的减法可以按照向量的减法来进行.5.复平面内的两点间距离公式d=|z2-z1|,其中z1、z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为Z1和Z2间的距离.进一步,模的性质有(1)|z|=|;(2)|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|;(3)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).6.在复平面内,四边形OA
4、CB的顶点A、B、C对应的复数分别为z1、z2、z1+z2,则四边形OACB为平行四边形.进一步有(1)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(2)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(3)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.活学巧用例1 已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限，求实数x的范围.解：x为实数，x2-6x+5和x-2都是实数.复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限， 解得1x2，即1x2为所求实数x的范围.点评：本例求x的范围，是根据复数在复平面内对应的点所在
5、的象限确定实部和虚部组成的不等式组，由不等式组求出x的范围.例2 已知复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z1+(z2-2)i=2z2-(1+z1)i,求z1和z2.解：由于z1、z2在复平面内的对应点关于原点对称，有z2=-z1，代入已知等式,得3z1+(-z1-2)i=-2z1-(1+z1)i. 解得5z1=i.z1=,z2=.点评：由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决.例3 已知两个向量a、b对应的复数是z1=3和z2=-5+5i，求向量a与b的夹角.解：a=(3，0)，b=(-
6、5，5)，所以ab=-15，|a|=3，|b|=. 设a与b的夹角为，所以cos=.因为0，所以=.点评：复数的向量表示形式与点也是一一对应关系，因而向量的知识与复数间可以相互转化来解决问题.例4 设zC，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)z=4； (2)2z4.解：(1)复数z的模等于4，就是说，向量的模等于4，所以满足条件z=4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆.(2)不等式2z4可化为不等式组 不等式z4的解集是圆z=4内部所有的点组成的集合，不等式z2的解集是圆z=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2z4的点Z的集合.容易看出，点Z的集合是以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.点评：满足条件z=r(r为正常数)的点Z的集合是以原点为圆心、r为半径的圆.最新精品数学资料
