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1、平面解析几何初步北京三十五中 李赤军 2010、05一、 教材版本分析 按新课程标准编写的六套数学教科书分别是由1、刘绍学主编，人民教育出版社出版的A版教科书；2、由高存明主编，人民教育出版社出版的B版教科书；3、由严士健、王尚志主编，北京师范大学出版社出版的教科书；4、由单墫主编，江苏人民出版社出版的教科书；5、由张景中主编，湖南人民出版社出版的教科书；6、由齐民友主编，湖北教育出版社出版的教科书（以下分别简称人教A版、B版、北师大版、苏教版、湘教版、鄂教版），并有几套已被全国15个实验区选择使用二、 在新课表中的地位于整体分析2、必选:平面解析几何初步 共同基础、普及要求三、 新课表与原教
2、学大纲对比教学大纲课程标准直线的倾斜角和斜率。直线方程的点斜式和两点式。直线方程的一般式。两条直线平行与垂直的条件。两条直线的交角。点到直线的距离。用二元一次不等式表示平面区域。简单线性规划问题。实习作业。 曲线与方程的概念。由已知条件列出曲线方程。 圆的标准方程和一般方程。圆的参数方程。教学目标(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程。(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3、(3)会用二元一次不等式表示平面区域。(4)了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单应用。(5)了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法。(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。(7)结合教学内容进行对立统一观点的教育。(8)实习作业以线性规划为内容，培养解决实际问题的能力。 (1)直线与方程 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的
4、几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系。 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。 探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 (2)圆与方程 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中。探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。(3)在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。(4)空间直角坐标系 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。 通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐
5、标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。说明：1.删：两条直线的交角。2. 移：用二元一次不等式表示平面区域,简单线性规划问题。 曲线与方程的概念。由已知条件列出曲线方程。 圆的参数方程。;3.增;直线与圆、圆与圆位置关系 直线与圆位置关系应用;4.强调探索并掌握、体会和感受;5.突出思想、方法.1) 课标特别强调让学生参与数学知识的发生、发展过程.2) 课标强调数形结合思想的应用和现代数学工具的应用.) 课标强调数学知识的应用，让学生体验解几的特点四、课时对比课时安排教学大纲课程标准比较直线与方程10线性规划 7曲线与方程和圆的方程 6 复习 2合计约25课时直线与方程 9圆的
6、方程 6空间直角坐标系2复习1合计约18课时 标准中去掉线性规划7课时。标准中虽然去掉了“曲线与方程”2课时，但安排了直线与圆、圆与圆和直线与圆的应用。 标准安排了空间直角坐标系2课时。 五、知识点详细21 平面直角坐标系中的基本公式 - 复习即可数轴上的基本公式：AB=x2 x1，d(A，B)=|x2 x1|。 平面直角坐标系中的基本公式：距离公式与中点公式22 直线的方程221直线方程的概念与直线的斜率 - 生 长 点1 通过分析一次函数及其图象，建立直线方程的概念。把直线看做是点的集合，用集合的观点，把直线的特征性质用方程来表示。2 直线的斜率是数学中最重要的概念之一，在微积分学中也扮演
7、着极为重要的角色。一定要让学生理解它的几何意义。值得大家思考的是，课标把直线方程的学习安排在三角之前学习。倾角的正切等于斜率，这一事实还不能直接地引入。这与传统习惯相左，大家很难接受。很多老师提前讲数学4。当然，这也是一种选择。学完向量和三角后，再学习解析几何会更顺理成章些。编者反复考虑，在学习三角和向量前，学习解析几何初步，还是有一定的道理的。解析几何最根本的思想是，用代数方法研究几何。在学习解析几何前，如果没有三角和向量的知识，就会强化用代数方法学习几何，使学生更深刻地理解坐标法的意义、代数与几何的内在联系。由以上分析，我们建议不要改变课标规定的教学顺序。彻底把算式 的几何意义（相似比）和
8、代数意义（变化率）搞清楚。-几种方式讲解与整体要求222 直线方程的几种形式知道直线上一点的坐标和斜率，这条直线就完全确定了。点斜式是直线方程最基本的形式。其他确定直线的条件都可以转化为点斜式来处理。基础较好的学生，可引导他们研究，通过一个定点的直线系，如何用方程表示。有的老师喜欢把斜截式作为基本的直线方程，推导其他直线方程。深入地去分析，直线的几种方程，点斜式仍是最重要也是最有用的直线方程。点斜式方程应是教学中的重点，应反复练习，让学生熟练掌握。223 两条直线的位置关系 - 讨 论 点1 两条直线相交、平行与重合的条件用二元一次方程来表示直线的基础上，通过二元一次联立方程组，有解或无解来讨
9、论两条直线相交，平行或重合的条件，对高一的学生应当没有太大的困难。如有困难，可能在于学生不习惯于纯符号的计算与分析。但这一关，高一的学生必须要过。它有极强的教育价值：学着用代数方法研讨几何。建立起直线方程，使解方程组有了直观的几何意义。通过解方程组 可确定两条直线的位置关系。如果A1B2 - A2B10，方程组有唯一解（x，y），表明两条直线相交于一点（x，y）。如果A1B2 - A2B1=0，方程组无解或有无穷多解，表明两条直线平行或重合。要认真分析，表达式A1B2 - A2B1=0与k1=k2的几何意义。如图。由可知，直线l1， l2和对应的，所围成的直角三角形相似。直线与x轴的倾斜角相等
10、。这又返回到相似与相似比的层面。教师应该知道前面等式的左边为向量（A1，B1）与向量（A2，B2）张成的平行四边形面积(外积)，这是解析几何中的一个重要的不变量，面积为零意味着两条直线平行或重合。可用表达式A1B2 - A2B1来计算平行四边行的有号面积，判断两条直线是否相交、平行或重合。教学时，要一步步地，把数或式与形紧密结合。写出直线方程，画出直线。分析直线方程l： Ax+By+C=0中的常数A，B，C的几何意义。设（x1， y1）、（x2， y2）为直线上的两点，则。最后，按上面的分析，由解二条直线的方程组，讨论两条直线相交、平行或重合。说出每一个代数式的几何意义。2 两条直线垂直的条件
11、传统教材两条直线垂直的条件是由诱导公式tan(x+90)=-cot x导出的。不用这个公式证明，我们只有返回到勾股定理，用勾股定理导出两条直线垂直的条件。由导出过程可以看到，勾股定理与两条直线垂直的条件等价。由勾股定理可导出两条直线垂直的条件是A1A2 + B1B2=0， （*）反之，由A1A2 + B1B2=0也可导出勾股定理。A1A2 + B1B2是解析几何中的另一个重要的不变量，它是向量（A1，B1）与（A2，B2）的内积。它只与两个向量的长度和夹角有关，与坐标系的选择无关。由（*）式可推出，（），即 k1k2=-1。教学时一定要一边推导算式，一边画出图象，指出算式的几何意义（如图所示）
12、。由，可证两个直角三角形相似，进而证两条直线垂直。从数学的教育价值考虑，直线方程放在三角前讲，有一定的优越性。证明的过程直接返朴到直角三角形相似和勾股定理。对学生理解相似、垂直、勾股定理、变化率、一次函数和解一次方程组等知识间的内在联系，是有益的。为学生用坐标法研究几何打下坚实的基础。224 点到直线的距离 - 发 散 点教学可采用提出问题，让学生探索解决问题的方法。问题 如何求点P(x1，y1)到直线l：Ax+By+C=0的距离?学生学了距离公式后，最容易想到的方法是，求过点P且与直线l垂直的直线方程，解方程求两条直线的交点，再应用距离公式求解。教材中，使用了代数技巧。思路是，设垂足为(x0
13、，y0)。利用已知条件寻求分别含x1-x0，y1-y0两个未知数的两个方程： 然后通过代数变形求 (x1-x0)2+ (y1-y0)2 。设未知数列方程组，平方变形等解题的方法和技能都是一个高中生应该具有的。所以教学时要向学生剖析解题的方法和技能。随着知识层面的上升，学生可用各种方法求出点到直线的距离，如二次函数的最值、三角法、向量法、微分法等。23圆的方程231 圆的标准方程1复习圆的定义(圆的特征性质)，然后通过距离公式，把圆的特征性质转化为坐标。2把确定圆的几何条件（圆心和半径）转化为代数条件：圆心的坐标(a，b)和半径r，最后转化为圆的方程。 3圆的标准方程中有三个未知数， 要列出三个
14、方程，通过解三元一次方程组才能确定圆的方程。这一节例习题的主要任务是，给出条件，确定圆的方程，给出方程确定圆心和半径。232圆的一般方程中心主题是，通过配方法，探索二元二次方程表示圆的充要条件。1先说明任意一个圆，都可用圆的标准方程来表示。即圆的方程，一定是二元二次方程；2再用配方法探索一个二元二次方程表示圆的条件。3通过例1让学生掌握由圆的一般方程，求圆的圆心与半径的方法。例2让学生掌握，如果圆的一般方程未知，则可用待定系数法求之。例3是为这一大节设计的综合性练习。通过这个练习要求学生掌握：（1）会根据几何条件，建立坐标系，求出圆的方程；（2）会把圆的方程整理为一般方程；（3）会根据一般方程求出圆心的位置和半径。233直线与圆的位置关系1可先复习如何用几何方法判定直线与圆的位置关系：由直线与圆的交点判定，或由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定。2通过例1的第一个解法，是介绍如何用代数方法解这个问题。第二种解法是结合几何条件，列方程求解。在用解析法解几何问题时，要尽可能的使用有关的几何定理，以简化代数运算。234圆与圆的位置关系 - 新添知识点1复习如何用两圆半径与圆心距的数量关系判定圆与圆的位置关系。2要求学生能通过解二元二次联立方程组，研讨两圆的位置关系。为了培养学生的解方程组的能力，建议增加给出具体圆的方程，求两圆交点的练习。2.4 空
