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1、2015届广州市高三数学差缺补漏题（ 理科）1已知向量，函数（1）求函数的最大值，并写出相应的取值集合；（2）若，且，求的值解析： ：（1），当，即当时，；（2）由（1）得：，。，2. 已知函数（1）讨论函数在上的单调性；（2）设，且，求的值解析：（1）， 由得，当即时，递增；当即时，递减；当即时，递增综上，函数在区间、上递增，在区间上递减（2）由，即，得， 因为，所以，可得， 则 3. 在ABC中，内角所对的边分别是，且满足：又.（1）求角A的大小； （2）若，求的面积解：（1）, 又 （2），即 ,又4. 设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc （1） 求sinA
2、的值； （2）求的值解：（1）由余弦定理得又 （2）原式5. PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准PM 2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.从某自然保护区2014年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM 2.5日均值（微克/立方米）25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85频数311113（1）从这10天的PM 2.5日均值监测
3、数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天数据，记表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数，求的分布列；（3）以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）.解：（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则答：恰有一天空气质量达到一级的概率为（2） 依据条件，服从超几何分布，其中的可能取值为0，1，2，3，其分布列为0123（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为设一年中空气质量达到一级或二级
4、的天数为，则估计一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级 6. 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(2) 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；(3) 经过多次测试后，甲成绩在810米之间，乙成绩在9.510.5米之间，现甲、乙各投掷一次
5、，求甲比乙投掷远的概率.解：(1)第6小组的频率为1(0.040.100.140.280.30)0.14，此次测试总人数为(人). 第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.280.300.14)5036(人)即这次铅球测试成绩合格的人数为36(2)=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为,.，. 所求分布列为X012P 两人中成绩不合格的人数的数学期望为 (3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为、米，则基本事件满足的区域为， 事件“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为，如图所示. 由几何概型. 即甲比乙投掷远的概率为7. 为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，
6、统计数据如下表：认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏4020不喜欢玩游戏20合计（1）请补充完成列联表，并根据此表判断：喜欢玩游戏与作业量是否有关？（2）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数的分布列与数学期望。 附：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828解：（1）统计数据如下表：认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏402060不喜欢玩游戏203050合计6050110将表中的数据代入公式，可求得查表有的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。 （2）易知
7、，利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有（名），“认为作业不多”的学生有2名。 由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数的所有可能取值为2,3,4. 其中 所以的分布列为234故的数学期望为8射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分的分
8、布列和数学期望E；（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。解析：（1）的所有可能取值为，则，的分布列为：， （2）射手选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为 ,；, 因为，所以应选择方案2通过测试的概率更大 9. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成60的角，底面是边长为2的正三角形，其重心为点， 是线段上一点，且（1）求证：/侧面；（2）求平面与底面所成锐二面角的正切值解：（1）延长B1E交BC于点F， FEB，BE=EC1， BF=B1C1=BC，从而点F为BC的中点G为ABC的重心， A、G、F三点共线 且，又GE侧面AA1B1B， GE/侧面AA1
9、B1B（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1HAB，垂足为H，侧面AA1B1B底面ABC， B1H底面ABC又侧棱AA1与底面ABC成60的角，AA1=2，B1BH=60，BH=1，B1H= 在底面ABC内，过H作HTAF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1TAF，又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，B1TH为所求二面角的平面角 AH=AB+BH=3，HAT=30，HT=AH在RtB1HT中，从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为 解法2：（1）侧面AA1B1B底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60的角，A1AB=60， 又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO底面AB
10、C 以O为原点建立空间直角坐标系O如图， 则， G为ABC的重心， 又GE侧面AA1B1B，GE/侧面AA1B1B （2）设平面B1GE的法向量为，则由得可取 又底面ABC的一个法向量为 设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为，则 由于为锐角，所以，进而故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为 10. 如图，三棱柱中, ,平面平面,与相交于点.（1）求证：平面;（2）设点是直线上一点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.解析：（1）由已知得侧面是菱形,是的中点， 平面平面，且，平面平面=AC1平面. （2）设点是的中点，因为点是的中点，所以平面，又因为面，所以平面平面，又平面平面，
11、平面平面，所以，所以点是的中点。 如图，以为原点,以所在直线分别为轴, 轴，z轴建立空间直角坐标系.由已知可得 所以 设平面的一个法向量是由得，又由令，所以 平面平面 ，所以平面是平面的一个法向量是， 平面与平面夹角的余弦值是 11. 如图所示,在四棱柱中,底面是梯形,侧面为菱形,.(1) 求证:;(2) 若,点在平面上的射影恰为线段的中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.解析：解一：（1）因为侧面为菱形，所以，又，所以，从而. （2）设线段的中点为，连接、，由题意知平面.因为侧面为菱形，所以，故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图1所示.设，由可知，所以，从
12、而，. 所以 . 由可得，所以. 设平面的一个法向量为，由，得 取，则，所以. 又平面的法向量为，所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 解二：（1）连接、，设交于点，连，如图2所示.由，可得，所以.由于是线段的中点，所以，又根据菱形的性质，所以平面，图2从而. （2）因为，所以延长、交于点，延长、交于点，且，.连接，则.过点作的垂线交于点，交于点，连接，如图3所示.因为，所以.由题意知平面，可得， 故是平面与平面所成二面角的平面角. 易知，所以.在中，图3，所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12已知平行四边形，为的中点，把三角形沿折起至位置，使得，是线段的中点（1）求证：；（2）求证：面面；（3）求二面角的正切值 解析： (1) 如图证明：取的中点，连接 为中点，且 为平行四边形边的中点，且 ，且四边形是平行四边形平面，平面 平面 （2）取的中点，连接，为的中点为等边三角形，即折叠后也为等边三角形，且在中，根据余弦定理，可得在中，即又，所以又面面 （3）过作于，连接又是二面角的平面角在中，故所以二面角的正切值为 13. 设等差数列的前项和为，满足：.递增的等比数列前项和为，满足
