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1、例如：例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？【答疑编号：10000103针对该题提问】解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数（种）例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（）从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种？【答疑编号：10000104针对该题提问】解：第一步在5件正品中取2件，取法有（种）第二步在3件次品中取1件，取法有（种）由乘法原则，取法共有103=30（种）第一章 随机事件与随机事件的概率1.1随机事件引例一，掷两次硬币，其可能结果有：上上；上下；下上；下下则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。
2、引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：1，2，3，4，5，6则出现偶数点的事件A，点数4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用表示必然
3、事件。例如，掷一次骰子，点数6的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数6的事件一定不出现，它是不可能事件。（二）基本（随机）事件随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用表示基本事件。例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作，当然是必然事件。（三）随机事件的关系（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作。例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数2，B表示掷出的点数
4、3。A=1，2，B=1，2，3。所以A发生则必然导致B发生。显然有（2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。（四）事件的运算 （1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：或A+B例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3则和事件A+B=1，2，3，5显然有性质若，则有A+B=BA+A=A（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或AB 例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，则AB=1，3显然有性质：若，则有AB=AAA=A（3）差事件：事件A发生而且事
5、件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B）例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=1，2，3，则A-B=5显然有性质：若，则有A-B=A-B=A-AB（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=例如，掷一次骰子，A=1，3，5；B=2，4AB= （5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作例如，掷一次骰子，A=1，3，5，则显然，对立事件有性质：注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和
6、运算，其中正方形表示必然事件或样本空间。图1.1表示事件事件A图1.2阴影部分表示A+B图1.3阴影部分表示AB图1.4阴影部分表示A-B图1.5表示A与B互不相容图1.6阴影部分表示事件的运算有下面的规律： （1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫对偶律例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生【答疑编号：10010101针对该题提问】（2）A，B，C三事件都发生【答疑编号：10010102针对
7、该题提问】（3）A，B，C三事件都不发生【答疑编号：10010103针对该题提问】（4）A，B，C三事件不全发生【答疑编号：10010104针对该题提问】（5）A，B，C三事件只有一个发生【答疑编号：10010105针对该题提问】（6）A，B，C三事件中至少有一个发生【答疑编号：10010106针对该题提问】解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B
8、3【答疑编号：10010107针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）例3 ，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。（1）A，B都发生且C不发生【答疑编号：10010108针对该题提问】（2）A与B至少有一个发生而且C不发生【答疑编号：10010109针对该题提问】（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生【答疑编号：10010110针对该题提问】（4）A，B，C中最多有一个发生【答疑编号：10010111针对该题提问】（5）A，B，C中恰有两个发生【答疑编号：10010112针对该题提问】（6）A，B，C中至少有两个发生【答疑编号：10010113针对该题提问】（7）A，B
9、，C中最多有两个发生【答疑编号：10010114针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）简记AB+AC+BC（7）简记例4，若=1，2，3，4，5，6；A=1，3，5；B=1，2，3求（1）A+B；【答疑编号：10010115针对该题提问】（2）AB；【答疑编号：10010116针对该题提问】（3） ；【答疑编号：10010117针对该题提问】（4）；【答疑编号：10010118针对该题提问】（5）；【答疑编号：10010119针对该题提问】（6）；【答疑编号：10010120针对该题提问】（7），【答疑编号：10010121针对该题提问】（8） 。【答疑编号：10010122针
10、对该题提问】解：（1）A+B=1，2，3，5；（2）AB=1，3；（3）=2，4，6；（4）=4，5，6；（5）=4，6；（6）=2，4，5，6；（7）=2，4，5，6；（8）=4，6由本例可验算对偶律，=，=正确例5，（1）化简；【答疑编号：10010123针对该题提问】（2）说明AB与是否互斥【答疑编号：10010124针对该题提问】解：（1）（2）例6.A，B，C为三事件，说明下列表示式的意义。（1）ABC；【答疑编号：10010125针对该题提问】（2）；【答疑编号：10010126针对该题提问】（3）AB；【答疑编号：10010127针对该题提问】（4）【答疑编号：10010128针
11、对该题提问】解：（1）ABC表示事件A，B，C都发生的事件（2） 表示A，B都发生且C不发生的事件（3）AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明C可发生，也可不发生。AB表示至少A与B都发生的事件（4）所以也可以记AB表示，ABC与 中至少有一个发生的事件。例7.A，B，C为三事件，说明（AB+BC+AC）与是否相同。【答疑编号：10010129针对该题提问】解：（1）表示至少A，B发生它表示A，B，C三事件中至少发生二个的事件。（2）表示A，B，C三事件中，仅仅事件A与事件B发生的事件表示A，B，C三事件中仅有二个事件发生的事件。因而它们不相同。1.2随机事件的概率（一）频率：（1
12、）在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生了nA次，则事件A发生的次数nA叫事件A发生的频数。（2）比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn（A），即历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用A表示出现正面的事件： 试验人nnAfn（A）摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016从上表可见，当试验次数n大量增加时，事件A发生的频率fn（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件A的频率fn（A）的稳定值大约是0.5。（二）概率：事件A出现的频率的稳定值叫事件A发生的概
13、率，记作P（A）实际上，用上述定义去求事件A发生的概率是很困难的，因为求A发生的频率fn（A）的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们提供猜想事件A发生的概率的近似值。粗略地说，我们可以认为事件A发生的概率P（A）就是事件A发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。下面我们不加证明地介绍事件A的概率P（A）有下列性质：（1）0P（A） 1（2）P（）=1，P（）=0（3）若A与B互斥，即AB=，则有P（A+B）=P（A）+P（B）若A1，A2，An互斥，则有（三）古典概型：若我们所进行的随机试验有下面两个特点：（1）试验只有有限个不同的结果；（2）每一个结果出现的可能性相等，则这种试验模型叫古典概型。例如，掷一次骰子，它的可能结果只有6个，假设骰子是均匀的，则每一种结果出现的可能性
