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1、向 量 复 习 教 师 版1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模（可以平移）(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1) 交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)3.向量的数
2、乘运算及其几何意义4共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.1.向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个2.证明三点共线问题，同直线，公共点（举例说明）练习：判断下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.正确的个数是()A1 B2 C3 D4解析只有正确答案A5设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_.解析由题意知：abk(2ab)，则有：k，.答案 考向一平面向量的概念【例1】下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始
3、点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.答案C【训练1】 给出下列命题：若A，B，C，
4、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若a与b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确命题的序号是_解析正确，错误答案考向二平面向量的线性运算【例2】如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.0B.0C.0D.0审题视点 利用平面向量的线性运算并结合图形可求解析0，2220，即0.答案A考向三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线审题视点 (1)先证明，共线，再说明它
5、们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k.(1)证明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)5(ab)5.，共线，又它们有公共点，A，B，D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两不共线的非零向量，kk10.k210.k1.【训练3】 (2011兰州模拟)已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是()A2 B1C1 D1解析由ab，ab(，R)及A，B，C三点共线得：t ，所以abt(ab)tatb，即可得所以1.故选D.答案D【示例1】 (2012泰安十校联考)定义平面向量之间的
6、一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面说法错误的是(B)A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，当且仅当x1y2x
7、2y10时，向量a，b共线但ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0。1(人教A版教材习题改编)已知a1a2an0，且an(3,4)，则a1a2an1的坐标为()A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)解析a1a2an1an(3，4)2若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c()A3ab B3ab Ca3b Da3b解析设cxayb，则c3ab.3(2012郑州月考)设向量a(m,1)，b(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则m的值为()A1 B1 C2 D2解析设ab(0)，即m且1m.解得m1，由于0，m1.5已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1
8、,2)，若(ab)c，则m_.解析ab(1，m1)(ab)c，2(1)(m1)0，m1.考向一平面向量基本定理的应用【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_.解析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB2，则(2,0)，(0,2)，过D作DFAB交AB的延长线于F，由已知得DFBF，则(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得考向二平面向量的坐标运算【例2】(2011合肥模拟)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐标和.审题视点 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3
9、，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x，y)，则(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18)考向三平面向量共线的坐标运算【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得kab与a3b共线，且方向相反？解若存在实数k，则kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若这两个向量共线，则必有(k3)(4)(2k2)100.解得k.这时kab，所以kab(a3b)即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在【训练3】 (2011西安质检)已知向量a(1,2)，b
10、(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.解析设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3(1m)2(2n)，又c(ab)，3mn0，解得m，n.【试一试】 (2011天津)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_尝试解析以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5
11、.1两个向量的夹角0,2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，3向量数量积的几何意义4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(2)abab0； (3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，特别的，aa|a|2或者|a|；(4)cos ； (5)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba； (2)ab(ab)a(b)； (3)(ab)cacbc.6平面向量数量积的坐标运算设向量a
12、(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则(1)abx1x2y1y2； (2)|a|；(3)cosa，b； (4)abab0x1x2y1y20.7若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，则|a|(距离公式) (1)若ab0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若ab0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若向量a，b，c若满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等1(人教A版教材习题改编)已知|a|3，|b|2，若ab3，则a与b的夹角为()A. B. C. D.解析设a与b的夹角为，则cos .又0，.答案C2若a，b，c为任意向量，mR，则下列等式
