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1、第2节圆与方程 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号圆的方程1、10、12与圆有关的最值8与圆有关的轨迹4与圆有关的对称5、9直线与圆的位置关系3、11、12、15、16圆的切线问题6、13弦长问题2、7圆与圆的位置关系14A组一、选择题1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(A)(A)x2+(y-2)2=1 (B)x2+(y+2)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)x2+(y-3)2=1解析:由题意,设圆心(0,t),则=1,得t=2,所以圆的方程为x2+(y-2)2=1,故选A.2.(2012年高考福建卷)直线x+y-2=0与圆x2+y2=4
2、相交于A、B两点,则弦AB的长度等于(B)(A)2(B)2(C)(D)1解析:因为圆心到直线x+y-2=0的距离d=1,半径r=2,所以弦长|AB|=2=2.故选B.3.(2012年高考陕西卷)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则(A)(A)l与C相交(B)l与C相切(C)l与C相离(D)以上三个选项均有可能解析:x2+y2-4x=0是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,而点P(3,0)到圆心的距离为d=12,点P(3,0)恒在圆内,过点P(3,0)不管怎么样画直线,都与圆相交.故选A.4.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程
3、为(B)(A)x2+y2=32 (B)x2+y2=16(C)(x-1)2+y2=16(D)x2+(y-1)2=16解析:设P(x,y),则由题意可得2=,化简整理得x2+y2=16,故选B.5.(2013肇庆中小学质量评估)经过圆x2+y2+2y=0的圆心C,且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为(A)(A)2x+3y+3=0(B)2x+3y-3=0(C)2x+3y+2=0(D)3x-2y-2=0解析:由题意知圆心C(0,-1),设所求直线方程为2x+3y+k=0,代入点(0,-1)得k=3,故所求直线为2x+3y+3=0,故选A.6.(2013年高考广东卷)垂直于直线y=x+1且与圆x2
4、+y2=1相切于第一象限的直线方程是(A)(A)x+y-=0(B)x+y+1=0(C)x+y-1=0(D)x+y+=0解析:与直线y=x+1垂直的直线方程可设为x+y+b=0,由x+y+b=0与圆x2+y2=1相切,可得=1,故b=.因为直线与圆相切于第一象限,故b=-,则直线方程为x+y-=0.故选A.二、填空题7.(2013年高考浙江卷)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.解析:圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25,故圆心为(3,4),半径r=5.又直线方程为2x-y+3=0,圆心到直线的距离为d=,弦长为2=2=4.答案:48.已知直线l:x-y+4
5、=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为.解析:因为圆C的圆心(1,1)到直线l的距离为d=2,又圆半径r=.所以圆C上各点到直线l的距离的最小值为d-r=.答案:9.圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l:x+y-3=0对称的圆的方程为.解析:已知圆的圆心为(2,3),半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l对称,由数形结合得,对称圆的圆心为(0,1),半径为1,故方程为x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=110.已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,半径为1且与直线4x-3y=0相切,则圆C的标准方程是.解析:圆C的圆心在直线3x-
6、y=0上,设圆心C(m,3m).又圆C的半径为1,且与4x-3y=0相切,=1,m=1,圆C的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=1或(x+1)2+(y+3)2=1.答案:(x-1)2+(y-3)2=1或(x+1)2+(y+3)2=1三、解答题11.(2013珠海摸底)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程.解:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l与圆C相切,则有=2
7、.解得a=-.(2)过圆心C作CDAB,则根据题意和圆的性质,得解得a=-7,或a=-1.故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.12.(2013广东佛山第一次质检)已知A(-2,0),B(2,0),C(m,n).(1)若m=1,n=,求ABC的外接圆的方程;(2)若以线段AB为直径的圆O过点C(异于点A,B),直线x=2交直线AC于点R,线段BR的中点为D,试判断直线CD与圆O的位置关系,并证明你的结论.解:(1)法一设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意可得解得D=E=0,F=-4,ABC的外接圆方程为x2+y2-4=0,即x2+y2=4.法二线段AC的中点为(
8、-,),直线AC的斜率为k1=,线段AC的中垂线的方程为y-=-(x+),线段AB的中垂线方程为x=0,代入AC中垂线方程得y=0,ABC的外接圆圆心为(0,0),半径为r=2,ABC的外接圆方程为x2+y2=4.(2)由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4,设点R的坐标为(2,t),A,C,R三点共线,而=(m+2,n),=(4,t),则4n=t(m+2),t=,点R的坐标为(2,),点D的坐标为(2,),直线CD的斜率为k=,而m2+n2=4,m2-4=-n2,k=-,直线CD的方程为y-n=-(x-m),化简得mx+ny-4=0,圆心O到直线CD的距离d=2=r,直线CD与
9、圆O相切.13.(2013年高考江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在,设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,得=1,解得k=0或-.故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)圆心在直线y=2x-4上,圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点M(
10、x,y),MA=2MO,=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M(x,y)在圆C上,圆C与圆D有公共点,则|2-1|CD2+1.即13.整理得-85a2-12a0.由5a2-12a+80,得aR;由5a2-12a0,得0a.点C的横坐标a的取值范围为0,.B组14.两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若aR,bR,且ab0,则+的最小值为(C)(A)(B)(C)1(D)3解析:将圆的方程化为标准方程,得(x+a)2+y2=4和x2+(y-2b)2=1.两圆有三条
11、公切线,即两圆相外切,所以圆心距等于半径长之和,故a2+4b2=9,(a2+4b2)=1,所以+=(a2+4b2)=1.当且仅当a2=2b2时,等号成立,即+的最小值为1.故选C.15.(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:可转化为圆C的圆心到直线y=kx-2的距离不大于2.圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,即2.整理,得3k2-4k0,解得0k.故k的最大值为.答案:16.(2013广州市高三调研)圆x2+y2+2x+4y-15=0上到直线x-2y=0的距离为的点的个数是.解析:圆方程x2+y2+2x+4y-15=0化为标准式为(x+1)2+(y+2)2=20,其圆心坐标为(-1,-2),半径r=2,由点到直线的距离公式得圆心到直线x-2y=0的距离d=,如图所示,圆上到直线x-2y=0的距离为的点有4个.答案:4
