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1、第五章：Youla 参数化和H-最优控制The Youla Parametrization and H- Optimal Control5.1 稳定分式表示(stable fractional representation-SFR)称是内部稳定的，或镇定。 图5.1 标准反馈系统求出 (负反馈条件下)SFR意义下的单模阵(幺模阵, unimodular)： 与都是稳定有理分式，即。设，定义： 右互质(right coprime)如果 只对单模阵 成立，则称与右互质；这时称 是不可约的(irreducible)怎样判定与右互质？存在稳定分式矩阵使得。如果 是不可约的(irreducible)，则
2、的极点是的零点。SFR表示不是唯一的。按上面的表示，定理：图5.1所示反馈系统内部稳定的充要条件是是单模阵，即。不失一般性，可以设，进而，可以得到，如果镇定，则存在，使得，且满足 。所有控制器的参数化由上式可以得到，为任意稳定有理真分式，则所有控制器的Youla参数化表示为：。如果是稳定的，则闭环系统内部稳定(镇定)当且仅当是(指数)稳定的。(按定理3.5，得出如果稳定，闭环系统稳定当且仅当稳定.)这时 ，灵敏度函数。因此可得任意控制器为，即-所有控制器的Youla参数化表示。稳定的传递函数集是一个环(ring)stable fractional representations例5.1 （问题
3、：上例中的MFD描述是怎样的？）所以检验：另一方面，则 确定。5.2 H-最优化问题 H- Optimization problem不精确已知被控对象的标准反馈结构如图6.1(P185)。无摄动时如图6.2(P186)，设使得。使用反馈得到实际设计中通常要求：这就是H-最优化问题 H- Optimization problem本章内容：1) 问题是怎样产生(引出)的？2) 怎样用状态空间算法求解.问题求解的思路：首先应使系统稳定，给出所有镇定控制器的结构(给出所有控制器的参数化表示)；然后从控制器中选出最优的。5.2.1 一个有启发意义的例子：灵敏度最小A motivating example
4、: sensitivity minimization图6.3(P187)所示，SISO系统，设是未知扰动，但频谱限制在，寻找一个控制器使得扰动对输出的影响最小-灵敏度函数，在该频率段上幅值最小，但超出该段将导致噪声放大，使稳定性(裕度)变差。通常设计取权函数则最小化问题 。如定义，则，。灵敏度函数 。这时优化问题转化为 应用Youla参数化方法使我们转化设计问题作为一个几乎不受约束的优化问题(任意取，保证系统正则稳定)。该例显示：Youla参数化可以简化优化问题。如果取幅值最小，则最优值是常值，即全通函数。因此，选择权函数是至关重要的，这是一个敏感的(sensible)工程问题。注意：有时最优
5、解是不可实现的；即问题可能无解(解是非正则控制器)。有的问题不用Youla参数化求解，不是H-问题。5.3 H-控制问题公式化The H- problem formulation5.3.1 几个H-问题的例子灵敏度最小 sensitivity minimization一般考虑是方形情况，当行比列多(列比行多)更复杂。加摄动下的鲁棒性 Robustness to additive perturbations如图6.4，6.5(P190-191)，摄动的界依赖于与频率有关的函数由小增益定理，如果，则闭环系统鲁棒稳定。转化为标准形式 则混合特性和鲁棒性目标Mixed performance and
6、robustness objective为了得到好的干扰抑制性能(disturbance-rejection performance)和鲁棒稳定性(robust stability)，通常要求保持 不能同时实现。在不同频率域上加权设5.3.2 性能鲁棒：一个未解决的(unsolved)问题有些重要的设计问题不能转化为H-问题，如性能鲁棒当存在未建模摄动时。某些性能鲁棒问题可以转化为如下问题：其中是对角的，可通过迭代求解或，给定求是标准H-问题，给定求是凸(convex)优化问题。同时求最优的和不易实现。5.4 Youla 参数化The Youla (or Q) parametrization5
7、.4.1 fractional representations 分式表示推广矩阵分式描述Matrix Fraction Description (MFD)到(稳定)分式表示是稳定的传递函数，而且右互质，左互质。重新定义单模阵(幺模阵unimodular)。右互质：，定理5.1(Bezouts theorem):和右互质当且仅当存在和使得。线性系统的分式表示：设有能稳能检测实现，状态空间表示 取反馈， 则 应证明右互质(后面证)另一方面，(与书中推导不同) 进而，得 5.4.2 所有镇定控制器的参数化Parametrization of all stabilizing controllers正反馈系统(图6.4，图2.2 P103)内稳定等价于指数稳定。定理5.2: 设稳定分式表示：，则闭环系统内稳定当且仅当和 是稳定的(即是单模阵)。证明：与右互质，与有相同的稳定性。定理5.3: 闭环系统内稳定，则可以被选择满足 (*)如果对应能稳能检测实现，则 定理5.4: 设，满足则的任意镇定控制器可以表示为这里，任意。几点说明： 每取一个，都是控制器； 每一个控制器都能表示上面形式； 已知一个控制器，所有控制器都可求。作业：1. 设系统传递函数为 求的Smith-McMillan标准形. 求右互质多项式矩阵，使. 求右互质稳定分式矩阵，使. 求使系统内部稳定的所有镇定控制器的参数化表示.
