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1、1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)CfjI I设常数k . 0,则级数(_1)n丄畀 nn(A)发散(C)条件收敛(B)绝对收敛(D)散敛性与k的取值有关(1)当x =时，函数y = x，2x取得极小值.设A为n阶方阵，且A的行列式I A|=a=0,而A*是A的伴随矩阵，贝U | A * |等于(2) 由曲线y=l nx与两直线y=e/-x及y=0所围成的平面图形的面积是 .=1x+1y+2z+1(3) 与两直线 y = -1 +t及=-一=都平行且过原点的平面方程为 .1 1 1l z =2 +t2 2 2
2、(4) 设L为取正向的圆周 x +y =9,则曲线积分ML(2xy 2y)dx+(x 4x)dy =.(5) 已知三维向量空间的基底为oq =(1,1,0), a =(1,0,1), a=(0,1,1),则向量卩=(2,0,0)在此基底下的坐标是.二、(本题满分8分)、1 x t2、求正的常数a与b,使等式limdt=1成立.Tbx-sinx Ja+t2(A) an 1(C) a -1(B)-an (D) a六、(本题满分10分)旳 1求幕级数丄xn的收敛域，并求其和函数 心n 2三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,u = f(x, xy), v=g(x xy),求.:u；:v，
3、:X: X3 0设矩阵A和B满足关系式AB = A + 2B,其中A = 110 110 ,求矩阵B.4七、(本题满分10分)求曲面积分2I = x(8y 1)dydz 2(1- y )dzdx- 4yzdxdy, Z四、(本题满分8分)求微分方程y ” 6y： (9 a2)y1的通解，其中常数a 0.llz=jy 11Ey兰 3其中是由曲线f(x)绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于x= 0五、选择题(本题共4小题,每小题3分，满分12分海小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项 前的字母填在题后的括号内)(1)设 lim 丄一 - -1,则在 x = a处x
4、t (x-a)2(A) f(x)的导数存在，且 f (a) = 0(B) f (x)取得极大值(C) f (x)取得极小值(D) f (x)的导数不存在s设f (x)为已知连续函数，I =t .0 f (tx)dx,其中t 0,s0,则I的值(A)依赖于s和t(B)依赖于s、t和x设函数f(x)在闭区间0,1上可微，对于0,1上的每一个X,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且f(x) = 1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)二x.(2) 有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子
5、中取出1个球,此球是白球的概率为 .已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为 .1 2(3) 已知连续随机变量 X的概率密度函数为 f (x)=严ex +2x1,则X的数学期望为 , X的方差为.十一、(本题满分6分)设随机变量X，丫相互独立，其概率密度函数分别为fx (x)=0_ x_ 1其它，fy(y)y 0y_ 0求Z = 2X Y的概率密度函数.九、(本题满分8分)问a,b为何值时,现线性方程组r % 十 X2 + X3 + X4 = 0 x2 +2X3 +2X4 =1 X2 + (a 3)X3 2X4 = b3片 +2x2 +x3 +ax4 = -
6、1有唯一解，无解,有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解 .十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中，事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为数学(一)试卷(A)存在一组不全为零的数Kh,，ks,使kj oq k22ks a=0yf (上) xg(),其中函数 y x一、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)二(X _3)n(1) 求幕级数丄的收敛域n 二 n32(2) 设 f(x) =eX ,f ：(x) T-x且(x) _0，求(x)及其定义域.333(3) 设a为曲面x y z 1的外侧，计算曲面积分I = x
7、dydz y dzdx z dxdy.I二、填空题(本题共4小题,每小题3分，满分12分.把答案填在题中横线上)1 2tx(1) 若 f(t)=limt(1+ ),则(t) =.F X3 j(2) 设 f(x)连续且 0 f(t)dt=x,则 f (7) =.2-1：xE0(3) 设周期为2的周期函数，它在区间(-1,1上定义为f(x) 2，则的傅里叶(Fourier)级数在.x2 0 x 0时，f(x)在冷处的微分dy是2(A)与二x等价的无穷小(B)与LX同阶的无穷小(C)比3低阶的无穷小(D)比3高阶的无穷小设y二f(x)是方程y_-2y，4y=0的一个解且f (x0) 0, f (灯=
8、0,则函数f(x)在点冷处(A)取得极大值(C)某邻域内单调增加(B)取得极小值(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域 J:x2 y2 z2 乞 R2,z_0,J:x2 y2 z2 ER2,x_0,y_0,z_0,则(A) xdv T/dvW12但)ill ydv =4iii ydv12六、(本题满分9分)k设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为 (k 0为常数,r为A质点与M之间的距离)，质点M沿r直线y二.2x-x2自B(2,0)运动到0(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.(D) 111 xyzdv = 4 111 xyzdv(C) Mzdv = 4川 zdv
9、i.1*: 2oO(4)设幕级数v an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处n d(A)条件收敛(C)发散(B)绝对收敛(D)收敛性不能确定七、(本题满分6分)：100 1_1001已知AP =BP,其中B =000,P= 2-10,求 A, A5001一211 一十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)19,则事件A在一次试27(1)设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于验中出现的概率是6(2)若在区间(0,1)内任取两个数，则事件”两数之和小于的概率为 5设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布，已知
10、x ij2八、(本题满分(x) ：- e 2 du, (2.5) = 0.9938,一2 0 02 0 0 0 0 1与B =0 y 0卫1 x 一0 0 -1 一8 分）已知矩阵A =相似.则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为求x与y.(2)求一个满足P AP二B的可逆阵P.十一、(本题满分6分)设随机变量X的概率密度函数为 fX (x)二 ,求随机变量Y = 1 - -3TX的概率密度函数 fY (y). 兀(1x )九、(本题满分9分)设函数f (x)在区间a,b上连续，且在(a,b)内有f (x) 0,证明：在(a,b)内存在唯一的,使曲线y=f(x)与两直线y = f( )
11、, x=a所围平面图形面积 S|是曲线y = f(x)与两直线y = f( ), x=b所围平面图形面积 S2 的3倍.数学(一)试卷2直z(1)设z= f (2x-y) g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有连续二阶偏导数，求-亦y、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上(1)已知(3)=2,则 limf (3 -h) - f (3)2h1设 f (x)是连续函数，且 f(x) = x 2 o f (t)dt,则 f (x) =,设平面曲线L为下半圆周y = /x2,则曲线积分(x2+y2)ds =,设曲线积分cXy2dx y(x)dy与路径无
12、关，其中(x)具有连续的导数，且(0)=0,计算向量场div u在点P(1,1,0)处的散度div u =(1,1)(0,0)xy2dx y :(x)dy 的值3 0(5)设矩阵A = 140 0010,1= 030010 ,则矩阵(A 2I) =1二、选择题(本题共5小题,每小题3分满分15分海小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项 前的字母填在题后的括号内)1(1) 当 x - 0 时，曲线 y = xsinx(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线，又无铅直渐近线2 2(2) 已知曲面z =4-X - y上点P处的切平面平行于平面2x 2y z-1 =0,则点的坐标是(A) (1,-1,2)(B) (-1,1,2)(C) (1,1,2)(D)(-1,-1,2)(3) 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数，则该非齐次方
