2023-2024学年北京166中高一（下）月考数学试卷（6月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知i是虚数单位，若复数z=(m−i)⋅(3+i)是纯虚数，则实数m的值是( )A. −3 B. 3 C. −13 D. 132.已知sinα=45，α∈(0,π2)，则cos(α−π3)=( )A. 3 3+410 B. 3+4 310 C. 3 3−410 D. 3−4 3103.若|a|=1,|b|=2,c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n//α，则m⊥n ②若m//n，n//α，则m//α ③若m//n，n⊥β，m//α，则α⊥β ④若m∩n=A，m//α，m//β，n//α，n//β，则α//β 其中所有真命题的序号是( )A. ①②③ B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③④5.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑等，如图所示的亭子带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为16π，屋顶的体积为32 53π，算得侧面展开图的圆心角约为( )A. 2π3 B. 5π6 C. 4π3 D. 7π66.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)=sin2xB. g(x)=2sin(2x−π6)C. g(x)=2sin2xD. g(x)=2sin(2x+π6)7.在△ABC中，“asinB=b+csinC+sinA”是“A=B”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8.《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载.已知圆周率π小数点后24位数字分别为141592653589793238462643，若从前12个数字和后12个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字奇偶不同的概率为( )A. 718 B. 1936 C. 536 D. 299.一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|=10m/s，水流速度v2的大小为|v2|=2m/s.设船行驶方向与水流方向的夹角为θ，若船的航程最短，则( )A. θ=π3 B. θ=π2 C. π2<θ<2π3 D. 2π3<θ<3π410.如图，在六面体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD//平面A1B1C1D1，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是两个全等的矩形，AB//A1B1，AD//A1D1，AA1⊥平面ABCD，AB=B1C1=6，BC=A1B1=10，AA1=6，则六面体ABCD−A1B1C1D1的体积为( )A. 288 B. 376 C. 448 D. 600二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在复平面内，复数z=1−2i2−i对应的点Z的坐标为______；|z|= ______．12.已知α，β是平面，m是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到m//β的是 .(填入条件的序号即可)①α//β；②α⊥β；③m⊥α；④m//α；⑤m⊄β．13.已知点O(0,0)，A(3,1)，B(1,m)，C(−1,−1)．(1)设线段AB的中点是H，若CH=(3,3)，则实数m= ______；(2)已知OQ=OA+tOB(t∈R).若点Q的轨迹与直线y=x平行，则实数m= ______．14.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=2，若CP=λCA+μCB，PA⋅PB的最大值为______．15.如图①，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E，F分别为AB，DC的中点.将四边形AEFD沿EF折起至四边形A1EFD1的位置，如图②．(Ⅰ)若点A1在平面EFCB上的射影为BE的中点，则三棱锥F−A1BC的体积为______；(Ⅱ)当平面A1EFD1与平面EFCB垂直时，作正方体A1D1NM−EFCB如图③.若平面α//平面A1FB，且平面α截该正方体所得图形的面积记为S，则S的最大值为______．三、解答题：本题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.(本小题14分)已知函数f(x)=sin(2x+π2)，x∈R．(Ⅰ)如果点P(35,45)是角α终边上一点，求f(α)的值；(Ⅱ)设g(x)=f(x)− 3sin2x，求g(x)的单调递增区间．17.(本小题14分)诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”.为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周(共两个周期)的诚信度数据统计，如表1：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%(Ⅰ)计算表1中八周水站诚信度的平均数x−; (Ⅱ)从表1诚信度超过91%的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；(Ⅲ)学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：第一周第二周第三周第四周第三个周期85%92%95%96%请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．18.(本小题15分)已知△ABD和△BCD是两个直角三角形，∠BAD=∠BDC=π2，E、F分别是边AB、AD的中点，现将△ABD沿BD边折起到A1BD的位置，如图所示，使平面A1BD⊥平面BCD．(Ⅰ)求证：EF//平面BCD；(Ⅱ)求证：平面A1BC⊥平面A1CD；(Ⅲ)请你判断，A1C与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由．19.(本小题14分)在△ABC中，BC=4，AC= 13，AB=1．(Ⅰ)求∠B；(Ⅱ)若D为BC边上一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABD存在且唯一确定，求△ABD的面积．条件①：∠ADB=π4；条件②：AD=2 23；条件③：△ABD的周长为3+ 3．注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20.(本小题14分)水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车(即圆周)的直径为3米，其中心(即圆心)O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为ℎ(单位；米)，水车逆时针旋转时间为t(单位：秒).当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N.从水车与水面交于点Q时开始计时(t=0)，设∠QON=φ，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为α．(1)求ℎ与t的函数解析式；(2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小(精确到1°)；(3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出ℎ与t的函数解析式．(参考数据：sinπ5≈0.60,sin3π10≈0.80,sin2π5≈0.86)21.(本小题14分)设n为正整数，集合A={α|α=(t1,t2,…,tn)，tk∈{0,1}，k=1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，记M(α,β)=12[(x1+y1−|x1−y1|)+(x2+y2−|x2−y2|)+…+(xn+yn−|xn−yn|)]．(Ⅰ)当n=3时，若α=(1,1,0)，β=(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M(α,β)是奇数；当α，β不同时，M(α,β)是偶数．求集合B中元素个数的最大值；(Ⅲ)给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M(α,β)=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．答案1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B 11.(45,−35) 1 12.①④⑤(或②③⑤) 13.3 1 14.14 15.2 33 3 3 16.解：(Ⅰ)点P(35,45)是角α终边上一点，则cosα=35，∴f(α)=sin(2α+π2)=cos2α=2cos2α−1=−725；(Ⅱ)g(x)=cos2x− 3sin2x=2cos(2x+π3)，由−π+2kπ≤2x+π3≤2kπ得：−2π3+kπ≤x≤−π6+kπ，∴g(x)的单调增区间为[−2π3+kπ,−π6+kπ](k∈Z)． 17.解：(Ⅰ)八周诚信水站诚信度的平均数为x−=95+98+92+88+94+94+83+808×100=90.5%．(Ⅱ)表1中超过91% 的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为a1、a2、a3，第二个周期有2个，分别记为b1、b2，从这5个数据中任取2个共有10种情况：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2．其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况．设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A 则P(A)=710．(Ⅲ)有效阐述理由含如下之一理由陈述的可能情况：①第三个周期水站诚信度的平均数92% 高于第二个周期的诚信度平均数87.75%；②第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言，呈逐步上升趋势；③第三个周期水站诚信度的平均数92% 高于第一、二个周期的诚信度平均数90.5%；④12周的整体诚信度平均数为91%，高于前两个周期的诚信度的平均数90.5%； 18.(Ⅰ)证明：因为E、F分别是边AB、AD的中点，所以EF//BD，因为EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以EF//平面BCD.------------(4分) (Ⅱ)证明：因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD=BD，CD⊂平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面A1BD．因为A1B⊂平面A1BD，所以CD⊥A1B，因为A1B⊥A1D，A1D∩CD=D，所以A1B⊥平面A1CD．因为A1B⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面A1CD.------------(10分) (Ⅲ)结论：A1C 与BD 不可能垂直．理由如下：假设A1C⊥BD，因为CD⊥BD，A1C∩CD=C，所以BD⊥平面A1CD，因为A1D⊥平面A1CD，所以BD⊥A1D与A1B⊥A1D矛盾，故A 1C 与不可能垂直．----------------(13分) 19.解：(Ⅰ)由余弦定理知，cos∠B=AB2+BC2−AC。