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1、1 向量内积 一、向量内积 用表示维行向量空间，即 定义1 两个维行向量的内积为 . 两个同维向量的内积是对应的分量的乘积之和, 它是一个实数. 显然, 两个维行向量的内积为. 两个维列向量的内积为. 例1 求向量的内积. 解 向量内积有以下基本性质.对于任取的,有 (1) 对称性：. (2) 线性性： . . 它们可以合并为 . (3) 正定性：而且. (4) 许瓦兹（）不等式：. （）而且式（）中的等号成立当且仅当线性相关. 关于向量内积的前三条性质的证明是显然的，现在证明第(4)个性质. 若，则（）式中的等号显然成立. 设，则.取，其中为某个参数，则必有特别,取，就有即.据此立刻可以证得
2、（）式成立.其中等号成立当且仅当，即线性相关. 二. 向量的长度与夹角 定义2 维行向量的长度指的是实数 .当时,称为单位向量. 的长度的计算公式为. 为单位向量当且仅当. 向量长度有以下三条基本性质： （1）非负性：. （2）齐次性：. 这里, 是数的绝对值. （3）三角不等式：.当时, 称 为向量与的夹角. 两个向量的夹角总介于与之间. 关于向量长度前两条性质的证明是显然的.现在证明三角不等式. 用许瓦兹不等式 , 即 .可以得到数字不等式 ，两边开方，即得所需的三角不等式. 三角不等式的几何含义是：三角形的两边的长度之和不小于第三边的长度. 在中的个标准单位向量 , 其中第个分量是, 其
3、它分量都是.它们都是单位向量. 但是, 如果说是单位向量, 那么仅是指它的长度为, 并不是说. 任意一个非零向量都可以单位化：.即用的长度去除中的每一个分量. 事实上 例2 对于, 有 . 对于, 有 .在求的单位化向量时, 可把正倍数去掉, 直接求的单位化向量. 三. 规范正交基 定义3 设. 如果，则称正交. 记为. 两个向量与正交当且仅当由此定义可知，零向量与任意同维向量都正交. 反之，如果某个维向量与中的任意一个向量都正交，那么当然与正交. 于是，由知道必有.定义4 如果一个向量组中不含零向量, 且其中任意两个向量都是正交的(简称为两两正交), 则称这个向量组为正交向量组.定义5 设，
4、是中的一个正交向量组, 且其中每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组.若向量空间的一个基是正交向量组, 则称这个基是正交基;若向量空间的一个基是标准正交向量组, 则称这个基是标准正交基或规范正交基. 我们常把标准正交向量组所满足的两个条件合并写成内积等式 .其中专用记号称为 kronecker 符号.定理1 正交向量组一定是线性无关组. 证 设是一个正交向量组. 如果有向量等式,则由向量之间的两两正交性知道，对于任意一个 必有 由和知. 于是, 为线性无关组. 证毕 例3 取定.考虑在中与此正交的所有向量全体证明必是中的子空间. 称为在中的正交子空间. 证 首先，由知道. 其次，
5、任取，则由知道，这里，为任意实数. 这说明. 所以是中的子空间. 证毕 例4 在中 ，显然是标准正交向量组. 不难直接验证以下三个三维向量也是中的标准正交向量组 . 例5 已知3维空间中的两个向量 正交, 试求一个非零向量, 使两两正交.解 记 ,解线性方程组 .由 ,得等价线性方程组 得基础解系, 取即可.四. 施密特()正交化方法. 因为线性无关向量组未必是正交向量组, 所以自然会提出问题: 如何根据已给的线性无关向量组, 构造出与它等价的正交向量组. 为此, 我们将介绍施密特()正交化方法. 如果已经给出含有个向量的线性无关向量组 ，那么一定可以按以下步骤得到正交向量组 . 它的计算步骤
6、如下. 利用向量内积可依次求出所需的向量： , , , , . 定理2 与是两个等价的向量组.证明 首先, 根据向量组的构造方法知,可由线性表出. 反之, 也可由线性表出.例如, , ,从中容易得到每一个表示成的线性组合. 证明两个向量组等价. 证毕 因为是线性无关的向量组, 所以每一个, 于是可以把中的每一个向量都单位化, 即令, 得到标准正交向量组. 例6 将, 试用施密特方法把这组向量规范正交化. 解 ; ; .再把它们单位化,得: .即为所求. 例7 已知, 求一组非零向量, 使两两正交. 解 应满足方程, 即它的基础解系为 把基础解系正交化, 即为所求. 即 ,其中, 于是得 五、正
7、交矩阵 定义6 如果阶实方阵满足，则称为正交矩阵. 例8 例如都是正交矩阵. 正交矩阵的基本性质：设是阶正交矩阵, 则有以下性质： 性质1 .证明 对用行列式乘法规则和行列式性质知道, 有，所以必有. 性质2 .由及逆矩阵定义立得. 即：正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵. 性质3 正交矩阵的逆矩阵和转置矩阵也是正交矩阵.由于. 即. 这说明正交矩阵的逆矩阵和转置矩阵的也是正交矩阵.性质4 如果都为正交矩阵，则它们的乘积也是正交矩阵.证 当时,必有. 证毕性质5 设是阶正交矩阵, 则其伴随矩阵必是正交矩阵.事实上, 因为，所以. 于是由 知也是正交矩阵. 性质6 对于任意维列向量都有内积等式事实
8、上, 注意到是列向量, 必有内积等式因此，. 定义7 设是阶正交矩阵，是两个维列向量, 则称线性变换为正交变换.当是阶正交矩阵时, 内积等式说明, 正交变换一定不改变任何两个向量的内积, 因此，也不改变向量的长度，而且还保持两个向量之间的正交性不变. 因此, 正交变换一定把标准正交向量组变成标准正交向量组. 定理3 阶实方阵是正交矩阵 的个行向量是标准正交向量组 的个列向量是标准正交向量组.由正交矩阵的定义, 及分块矩阵的乘法容易证得定理3 .定理3事实上也是我们判别一个方阵是正交矩阵的方法. 由于的行向量组就是的列向量组,是正交矩阵当且仅当是正交矩阵, 所以定理3中的两个判别方法是一致的,
9、因此只要对行向量组或列向量组检验标准正交性就行了. 例9 根据定理3可以直接验证以下两面个方阵都是正交矩阵: 验证方法如下: 每个行向量中的各个分量的平方之和都为, 而且任意两个行向量中对应分量乘积之和都为.例10 已知正交单位向量 (1) 求使,是正交单位向量组;(2) 求一个以为第1,2列的正交矩阵.解 (1) 由于是线性无关的, 所在可取两个向量 使 线性无关.将正交化得到一个正交向量组: 再将这给向量单位化, 即得到一个正交单位向量组: (2) 以的转置为列作一个矩阵 这个矩阵即为所求. 例11 设为维单位列向量，证明是对称矩阵和正交矩阵，而且有. 证 可以直接验证 . 这说明是对称矩阵. 因为为维单位列向量，必有. 据此, 即可证得 .这说明是正交矩阵. 仍利用可直接验证 . 证毕3
