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1、浅谈解析几何中的定比分点解析几何是我们高中阶段的重要内容，很多同学怕解析几何，说到底是怕解析几何中的计 算，特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分重要的 一块内容，无论是课本还是平时的练习题，定比分点内容都占一定的比重，定比分点用得好会简 化较多的计算。定比分点用法较多，大体分为：直接与间接。直接用法有三种：1定义直接用： AP二 PB （采用向量来解决）例如在.：OAB中， OA 定二b , 0D是AB边上的高，若AD AB，则实数等于 （）b a本题直接采用向量来解答:AD =，AB =2、直接用公式a （ab）a -bXA中九XbXp_1yAyB3、直
2、接用向量相等 （xp_ xap _yA）= （xb _xp，yB _yP。）直接用定义做的题比较少，因为直接用定义，不能较好训练学生的思维，采用间接的题型比 较多，大致有以下几种：一、将线段比转化为定比分点例如：已知 R（4, -3）,巳（-2,6），且|RP|=2PP2，求适合条件的点 P坐标。分析：这你种题较简单，解题过程不赘述，这是典型的将线段转化为定比分点来解决。、将定比分点转化为线段的比，从而用几何法解题。2X2例如：设椭圆（c0），且椭圆上存在一E:y =1的两个焦点是Fi（-c,0）与F2（c,0）m 1点P,使得直线PFi与直线PF?垂直，（1）求实数m的取值范围；（2）设丨是
3、相应焦点F2的准线, 直线PF?与丨相交于点Q,若QF2 = （2 _3）F2P，求直线PF2方程。2/八m2 -1,(1) Xq时无解。(m/c、丄 vm-1,，口m=2X 。此时 F2( - 2,0) P(2（2）X。*时，得Vm所以直线PF2方程为y=（J3 2X（2）本题把 QF2=（2 - j3）FP转化为相似比来解决，从而使问题化难为易。三、求某些值或者某些最值时，可转化为定比分点，从而使问题清晰化，解题思路明确。例如（2006南通九校联考）已知椭圆E的方程为2 2 2 2X22=1( a b 0)，双曲线 H：%=1a ba b的两条渐近线为h， I2，过椭圆E的右焦点F的直线l
4、 - I1，又I与I2交于点P设与椭圆E的两个 交点由上至下依次为 A， B。22FA（1）当l1， l2与夹角为60：且a +b =4时，求椭圆E的方程。（2）求一 的最大值。AP看见这道题很容易想到用第二定义去做，结果发现比值依赖XA的范围，而XA的范围需要解方程组, 从而使问题复杂化，若使用定比分点则问题变得简洁。K解：（1）略。（2）不妨设l1 : yay a(x-c)b -2ax =cab y =ca2ab)cP（I设A分FP的比为，则A（1中九ab而(0,1)所以2 岂-2、2 3=(.2-1)2的最大值为产）代入)2e22-1。四、定比分点与整体代换思想联系在一起。例如2 2双曲
5、线H:- x 1的离心率a23e=2， （1）求双曲线的渐近线方程;（2） 若A、B分别为11，12上的动点，且2 AB =5 RF2，求线段AB中点M的轨迹方程。略解：（1）渐近线方程：x_、3y=0。（2）设 AC，3a Ya ,） B（、3yB,yB） A，B 中点 M （x, y）3(ya -yb)2Ya Yb2Ya -Yb_3所以 中点M的轨迹方程Ya Yb 二 2yAB =10=-咼b)2 +(Ya - Yb)24x2 36y2 =300五、直接求定比分点中的的值，也可以用几何办法解决。像这种求的题，我们可以直接通过定比分点定义计算得到例如（2004.5月黄冈市、荆州市联考）已知动
6、点P到双曲线2 2X y 1的两个焦点F1 ,F2的距3 1离之和为定值2a（ a a ），且cosF1PF2的最小值为。129（2） 若已知点D（ 0，3），M、N在动点P的轨迹上，且 dM（1）求动点P的轨迹方程;=DN，求实数的取值范围。2解：（1）点P的轨迹方程为9(2)解法一：设 M（Xi,yi），N(X2, y2)OM =(Xi，yi)，DN-3)(xi,yi)V(X2, y2 -3)捲=x2y1 = (y2 - 3)所以2 2x_+y_=1942 2x_+y_=194X=九 X?y =丫2 -3)y213-5y2 -2,2所以1 3上面的解法，属于纯解析几何解法, 如图：图一，是
7、最大的时候，图二是最小的时候,其实，我们可以用几何办法很快解决。-515图（一）(M)六、根据定比分点中的范围求最值或值域。例如 已知0、A、B三点的坐标分别为 0 （ 0, 0）、A（ 3，0）、B（ 0，3），点P在线段 AB上，且，则OA op的最大值为 （）D 121 OPOB OA1 + & 1 + &11693OP =OAOBOA）69 二1 +扎1 +扎1 +兀1 +扎3:三0, ： ：） =1 亠.-1, ： ：）（0,3，所以答案选1 +丸这种题显然是利用的取值范围来求值简单。A 3 B 6解：设 AP AB，二 0?-0A=?；-.(ob _op) 二OA1 一6 1 七、
8、比而不求，转化为向量平行来解决。我们看这样一道题目，看似定比分点，仔细审题，这道题其实可以比而不求，转化为向量平行 来解决。例如已知椭圆竺42 21的弦PB过其中心O,点A是椭圆的右顶点，满足4（1）求点P坐标；（2）若椭圆上有两点C、D （异于 A、B） 且=0，问是否存在实数，使得AB = CD ?说明理由这道题，很容易想到用定比分点把求出来，从而证明存在，仔细一看，题目并没有要我们求，T T因而我们可以智取，只需求证 AB与CD共线即可。解：（1）点P坐标（1，-1 ）。（2）假设存在，使得AB=，CD，由PDA_ Loa =0知， cpd的平分线垂直于oa，则，kpC二-kpD。不妨设
9、点p坐标（1，1），设直线PC为y-仁k （x-1）联立方程组1普刊解得C(3k6k_1y -1 二 k(x-1)3k2 1-3k2 -2k 1)3k213k2 +6k _1又直线PD为y-仁-k （x-1），易得D为（3k21-3k22 k 1)3k21所以所以2-3k -2k 12-3k 2k 13k2 13k2 +123k-6k-13k2 6k -13k2 13k2 1存在，使得1，而kJ所以 CD / AB当然，与定比分点的题型解法，多种多样，这里只简单提几种情况，有待进一步发掘和学习。参考资料1、试吧大考卷辽宁大学出版社2、2006年全国各省市高考试卷汇编及详解中国少年儿童出版社3、全国著名重点中学高考调研模拟试卷（数学） 吉林文史出版社
