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1、 数 学G单元 立体几何 G1 空间几何体的结构 19G1、G4、G32014安徽卷 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.图15(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积19解： (1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BD
2、ACO，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO平面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K是OB的中点再由POGK得GKPO，所以G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3，故四边形GEFH的面积SGK318. 3G12014福建卷 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 B C2 D13
3、A解析 由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r1，高h1，则该圆柱的侧面积S2rh2，故选A.10G12014湖北卷 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A. B.C. D.10B解析 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L2r.由题意得L2hSh，代入Sr2化简得3.类比推理，若VL
4、2h时，.故选B.7G12014新课标全国卷 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A B1DC1的体积为()A3 B. C1 D.7C解析 因为D为BC的中点，所以ADBC，故AD平面BCC1B1，且AD，所以V三棱锥A B1DC1SB1DC1ADB1C1BB1AD21.20G1、G52014重庆卷 如图14所示四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；(2)若MPAP，求四棱锥PABMO的体积图1420解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中
5、心，连接OB，则AOOB.因为BAD，所以OBABsinOAB2sin1.又因为BM，且OBM，在OBM中，OM2OB2BM22OBBMcosOBM1221cos，所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC平面POM.(2)由(1)可得，OAABcosOAB2cos.设POa，由PO底面ABCD，知POA为直角三角形，故PA2PO2OA2a23.又POM也是直角三角形，故PM2PO2OM2a2.连接AM，在ABM中，AM2AB2BM22ABBMcosABM2222cos.由已知MPAP，故APM为直角三角
6、形，则PA2PM2AM2，即a23a2，解得a或a(舍去)，即PO.此时S四边形ABMOSAOBSOMBAOOBBMOM1.所以四棱锥PABMO的体积V四棱锥PABMOS四边形ABMOPO.G2 空间几何体的三视图和直观图8G22014安徽卷 一个多面体的三视图如图12所示，则该多面体的体积是()图12A. B. C6 D78A解析 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V82111.11G22014北京卷 某三棱锥的三视图如图13所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_图13112解析 该三棱锥的直观图如图所示，并且PB平面ABC，PB2，AB2，ACB
7、C，PA2，PC，故PA最长7G22014湖北卷 在如图11所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图12A和 B和C和 D和7D解析 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是.故选D.8G2、G82014湖南卷 一块石材表示
8、的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()图12A1 B2 C3 D48B解析 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得R2.7G2、G72014辽宁卷 某几何体三视图如图12所示，则该几何体的体积为()图12A8 B8 C8 D827C解析 根据三视图可知，该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之一后余下的部分，故该几何体体积V231228.3G22014浙江卷 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()图11A7
9、2 cm3 B90 cm3C108 cm3 D138 cm33B解析 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其体积为64334390 cm3，故选B.6G22014新课标全国卷 如图11，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图11A. B.C. D.6C解析 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积V32222434(cm3)，原毛坯的体积V毛坯32654(cm3)，被切部分的体积V切V毛坯V543420(cm3)，所以.8G22014全国新
10、课标卷 如图11，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱8B解析 从俯视图为矩形可以看出，此几何体不可能是三棱锥或四棱锥，其直观图如图，是一个三棱柱17G2、G82014陕西卷 四面体ABCD及其三视图如图14所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.图14(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形17解：(1)由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明：BC平面EF
11、GH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH 平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形4G22014四川卷 某三棱锥的侧视图、俯视图如图11所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：VSh，其中S为底面面积，h为高)()图11A3 B2 C. D14D解析 由图可知，三棱锥的底面为边长为2的正三角形，左侧面垂直于底面，且为边长为2的正三角形，所以该三棱锥的底面积S2，高h，所以其体积VSh1，故选D.7G22014重庆卷 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的体积为(
12、)图12A12 B18 C24 D307C解析 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5；截去的锥体的底面是两直角边的长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以该几何体的体积为V34534324.10G22014天津卷 一个几何体的三视图如图12所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.10.解析 由三视图可知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V124222.G3 平面的基本性质、空间两条直线19G1、G4、G32014安徽卷 如图15所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F
13、，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.图15(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积19解： (1)证明：因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO平面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K是OB的中点再由P
