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1、第二讲 绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数反之，相反数的绝对值相等也成立由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数例1
2、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)a+b=a+b；(2)ab=ab；(3)a-b=b-a；(4)若a=b，则a=b；(5)若ab，则ab；(6)若ab，则ab解 (1)不对当a，b同号或其中一个为0时成立(2)对(3)对(4)不对当a0时成立(5)不对当b0时成立(6)不对当ab0时成立例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简b-a+a+c+c-b解 由图1-1可知，a0，b0，c0，且有cab0根据有理数加减运算的符号法则，有b-a0，ac0，c-b0再根据绝对值的概念，得b-a=a-b，a+c=-(a+c)，c-b=b-c于是有原式=(a-b)-
3、(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c例3 已知x-3，化简：3+2-1+x分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号解 原式=3+2+(1+x)(因为1+x0) =3+3+x =3-(3+x)(因为3+x0) =-x=-x解 因为 abc0，所以a0，b0，c0(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨
4、论法，它在解决绝对值问题时很常用例5 若x=3，y=2，且x-y=y-x，求x+y的值解 因为x-y0，所以y-x0，yx由x=3，y=2可知，x0，即x=-3(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5所以x+y的值为-1或-5例6 若a，b，c为整数，且a-b19+c-a99=1，试计算c-a+a-b+b-c的值解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且a-b19，c-a99为两个非负整数，和为1，所以只能是 a-b19=0且c-a99=1， 或a-b19=1且c-a99=0 由有a=b且c=a1，于是b-c=c-a=1；由有c=a且a=b1，于是b-c=a
5、-b=1无论或都有b-c=1且a-b+c-a=1，所以c-a+a-b+b-c=2解 依相反数的意义有x-y+3=-x+y-1999因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有x-y+3=0且x+y-1999=0即由有x-y=-3，由有x+y=1999-得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：3x+1+2x-1分析 本题是两个绝对值和的问题解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事例如，化简3x+1，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号这里我们为三个部分(如图12所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式
6、=(3x+1)-(2x-1)=x+2； 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x即说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”例9 已知y=2x+6+x-1-4x+1，求y的最大值分析 首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者解 有三个分界点：-3，1，-1(1)当x-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x-3，所以y=x-1-4，y的最大值是-4(2)当-3
7、x-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3x-1，所以-45x+116，y的最大值是6(3)当-1x1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1x1，所以0-3x+36，y的最大值是6(4)当x1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x1，所以1-x0，y的最大值是0综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6例10 设abcd，求x-a+x-b+x-c+x-d的最小值分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦若能利用x-a，x-b，x-c，x-d的几何意义来解题，将显得更加简捷便利解 设a，b，c，d，x在
8、数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则x-a表示线段AX之长，同理，x-b，x-c，x-d分别表示线段BX，CX，DX之长现要求x-a，x-b，x-c，x-d之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小因为abcd，所以A，B，C，D的排列应如图13所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)例11 若2x+4-5x+1-3x+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值分析与解 要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零故本题只有2x-5x+3x=0一种
9、情况因此必须有4-5x=4-5x且1-3x=3x-1 故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7练习二1x是什么实数时，下列等式成立：(1)(x-2)+(x-4)=x-2+x-4；(2)(7x+6)(3x-5)=(7x+6)(3x-5)2化简下列各式： (2)x+5+x-7+x+103若ab0，化简a+b-1-3-a-b4已知y=x+3+x-2-3x-9，求y的最大值5设T=x-p+x-15+x-p-15，其中0p15，对于满足px15的x来说，T的最小值是多少？6已知ab，求x-a+x-b的最小值7不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果a-b+b-c=a-c，那么B点应为( )(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能
