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1、2022年高三第一次调研考试（数学）一、填空题：（本题共11小题，每小题4分，共44分）1、幂函数的图象经过点，则的解析式是_2、一个物体的运动方程为其中y的单位是：m，的单位是：s，那么物体在s末的瞬时速度是 m/s 3、命题“存在xZ使x2+2x+m0”的否定是 4、设，集合，则 5、= 6、设f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=,则当x0, a1)（1）求f (x)的定义域；（2） 判断f (x)的奇偶性并给予证明；（3）求使f (x)0的x的取值范围19、（本小题满分16分）已知f(x)=lnxx2+bx+3 （1）若函数f(x)在点（2，y）处的切线与直线2x+y+2=0垂直，求
2、函数f(x)在区间1，3上的最小值； （2）若f(x)在区间1，m上单调，求b的取值范围.20、（本小题满分16分）一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m.（1）求截面图中水面宽EF的长度；（2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下底（渠底）边长为多大时，才能使所挖的土最少？21、（本小题18分）设函数求证： （1）； （2）函数在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设是函数的两个零点，则江苏省通州市xx届高三第一次调研考试数学试卷参考答案一、填空题： 1、 ；
3、2、5； 3、任意xZ，都有x2+2x+m0；4、2； 5、2； 6、f(x)=；7、； 8、； 9、；10、； 11、；二、选择题：12、A 13、C 14、A 15、B 三、解答题： 16、（本小题满分14分）集合A=1，3，a，B=1，a2，问是否存在这样的实数a，使得BA，且AB=1，a？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由 解：由A=1，3，a，B=1，a2，BA，得a2=3或a2=a当a2=3时，此时AB1，a； 7当a2=a时，a=0或a=1， 9a=0时，AB=1，0； 11a=1时，AB1，a 13综上所述，存在这样的实数a=0，使得BA，且AB=1，a 1417（本小
4、题满分16分）已知二次函数y=f(x) 的图象经过原点，其导函数为f (x)=6x2，一次函数为y=g(x)，且不等式g(x)f(x)的解集是x|x1,求f(x)和g(x)的表达式 解：设f(x)=ax2bx，f (x)=2axbx=6x2a=3，b=2f(x)=3x22x 8设g(x)=mxnmxn3x22x，即3x2(2m)xn0，其解集是x|x1，用韦达定理得m=2，n=1g(x)=2x1 1618、（本小题16分）已知f (x) (a0, a1)，（1）求f (x)的定义域；（2） 判断f (x)的奇偶性并给予证明；（3）求使f (x)0的x的取值范围解：(1) 由0，解得x （1，1
5、） 5(2) f (x)f (x), 且x（1，1）函数yf (x)是奇函数 10(3)若a1, f (x)0则1， 解得0x1； 13若0a0则01，解得1x6 x=1时 f(x)在1，3上最小值6. 8 （2）令0得b2x，在1，m上恒成立而 y=2x在1，m上单调递增，最大值为2m b2m 12 令0 得b2x，在1，m上恒成立而 y=2x在1，m 单调递增，最小值为y=1b1故b2m 或b1时f(x)在1，m上单调 1620、（本小题16分）一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，渠口宽AB 为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m.（1）求截面图中水面宽度；（
6、2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下底（渠底）边长为多大时，才能使所挖的土最少？解：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为当y=-0.5时，x=，水面宽EF=m. 6（2）如上图，设抛物线一点M(t,t2-)（t0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土.由y=x2-,求导得y=3x，过点M的切线斜率为3t，切线方程为y-(t2-)=3t(x-t). 10令y=0，则x1=,令y=-,则x2=,故截面梯形面积为S=(2x1+2x2)=(+t), 14当且仅当t=时所挖土最少，此时下底宽m.答：故截面梯形的下底边长为0.707米宽时，才能使所挖的土最少. 1621、（本小题18分）设函数求证： （1）； （2）函数在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设是函数的两个零点，则21证明：（1） 2又 又2c=3a2b 由3a2c2b 3a3a2b2ba0 6（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=ac 当c0时，a0，f（0）=c0且函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点 9当c0时，a0 函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合得f（x）在（0，2）内至少有一个零点 12（3）x1，x2是函数f（x）的两个零点则的两根 18
