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1、概率论与数理统计复旦第三版习题五答案1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P10X268.96,故取n=269.3.某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7,假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供给多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电缺乏而影响生产.【解】设需要供给车间至少m15个单位的电能，这么多电能最多能同时供给m部车床工作，我们的问题是求m。把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中,用X表示正在工作的机床数目，那么XB(200,0.7),E(X)np2000.7140,D(X)np(1p)2000.70.342,根
2、据题意，结合棣莫弗一拉普拉斯定理可得0.95 PX m PX 14042m 140.42m 14042查表知m1.64151.所以供给电能151X15=2265单位.4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vkk1,2,20，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间0,10上服从均匀分布.记20VVk,求PV105的近似值.k1【解】易知：E(Vk) 5,D(Vk)100/12(k1,2，,20)。由独立同分布的中心极限定理知，随机变量V 20 5近似的20Vk 20 5k 1100 cc2 20V 12N(0,1).V 10010200.387于是 PV 105 P105 20 5(0.387)
3、0.348,即有PV105-0.3485.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短于3m,那么XB100,0.2.由棣莫弗拉普拉斯定理得P X 30 1 P X 30 1 PX np 30 np.np(1 P) 、np(1 P)301000.211(2.5)0.0062J000.20.86.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就承受这一断言，否那么就拒绝这一断言.1假设实际上此药品
4、对这种疾病的治愈率是0.8,问承受这一断言的概率是多少？2假设实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7,问承受这一断言的概率是多少？.1第i人治前【解】设Xi二:.,i1,2,100,那么X1,X2，X100相互独0,其他.100立且服从一样的(01)分布，因此XXiB(100,p)1 1当p0.8时，XB(100,0.8),由棣莫弗一拉普拉斯定理得75 100 0.8100 0.8 0.2100PXi751PX751i11(1.25)(1.25)0.8944.(2)当p0.7时，XB(100,0.7),由棣莫弗一拉普拉斯定理得100X1000.7751000.7PXi751PX751Pi110
5、00.70.3%1000.70.31(1.09) 0.1379.75 100 0.71100 0.7 0.37 .用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】设1000件中废品数为X,那么p0.8,n1000,XB(1000,0.05),E(X)=50,D(X)=47.5.由拉普拉斯局部极限定理得12050130PX2047.547.56.8956.89516.895306.8954.5 10 60.1单8 .设有30个电子器件.它们的使用寿命Ti,T2,T30服从参数位：h1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此
6、类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.【解】根据题意可知E(TJ110,D(Ti)口100,0.130且TT,故i1E(T)1030300,D(T)3000.根据独立同分布的中心极限定理得PT3501PT3503503005111(0.913)0.1814.、.3000.309.上题中的电子器件假设每件为a元，那么在年方案中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时.【解】设一年中至少需要n件电子器件，那么E(T)=10,D(Ti)=100,nnE(Ti)10n,D(Ti)100ni1i1根据独立同分布的中心极限定理得nPT
7、i 306 8i 1nTi 10nP -i -.100n306 8 10n.100n0.95306810n0.0510 .n故0.9510n 244810.n1.64n 244.8n 272.所以年方案中一年至少需要272a元.11 .对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量,设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.假设学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.1求参加会议的家长数X超过450的概率？2求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】1以Xi(i1,2,400)记第i个学生来参加会
8、议的家长数.那么Xi的分布律为Xi0120.050.80.15易知E8=1.1，D(Xi)=0.19,i=1,2,400.400而XXi，由独立同分布的中心极限定理得400Xi 400 1.1.400 0.19X 400 1.1近似地 .4 19N(0,1).于是 PX 450 1 PX 450 1450 400 1.14 19340_400_0.8. 4000.80.2340 400 0.8.400 0.8 0.2(2.5) 0.9938.1(1.147)0.1357.(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.那么YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得Y4000.8PY340P=,4
9、000.80.212 .设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率?【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数,那么 X-B10000, 0.515.要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX5000.由棣莫弗一拉普拉斯定理得P X 5000 P_X_10000_0.515_ .100000.5150.4855000 10000 0.515 J00000.5150.4855000_10000_0.515 . 100000.5150.485(3) 1(3) 0.00135.13 .设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9以95%既率估计，在一次
10、行动中：1至少有多少个人能够按时进入掩蔽体?2至多有多少个人能够按时进入掩蔽体?【解】引入新变量Xi1,第i人按时进入掩蔽体,0,其他.i 1,2,1000 ,那么X1,X2，,X1000相互独立，且服从一样的(01)分布。t己XX1X2X1000,那么XB(1000,0.9)设至少有m人能够按时进入掩蔽体，要求Pm0.95,由棣莫弗一拉普拉斯定理知:Pm X 1 PX m 1m 1000 0.9 0.95.1000 0.9 0.1从而m 900900.05,m 900901.65,所以m=900-15.65=884.35884(2)设至多有M人能进入掩蔽体，要求PX0.95.PX M PX_
11、900,90M_90090M 900,900.95.查表知M管=1.65,M=900+15.65=915.659d6.9014 .在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费,在一年一个人死亡的概率为0.006死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：1保险公司没有利润的概率为多大；2保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，那么XB1000Q0.006(1)公司没有利润当且仅当1000X=10000x12即“X=120.由拉普拉斯局部极限定理可知，所求概率为PX1201、10000 0.006 0.994120 10000 0.006,10000 0.006 0.9941112(60/. 5964)e 2、2 ” 59.64P0 X 6060 10000 0.006,10000 0.006 0.9940 10000 0.006、10000 0.006 0.994(0)60.59.640.5._1_60_59.6459.640.0517e30.18110(2)因为“公司利润A60000当且仅当“X心40，由棣莫弗一
