《高考数学二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形案文12143149》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形案文12143149（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2017全国卷)已知sin cos ，则sin 2()A. B. C. D.解析sin 22sin cos .答案A2.(2016山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A
2、()A. B. C. D.解析因为bc，a22b2(1sin A)，所以cos A，则cos Asin A.在ABC中，A.答案C3.(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B. C. D.解析由题意得sin(AC)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，则sin C(sin Acos A)sin Csin0，因为sin C0，所以sin0，又因为A(0，)，所以A，所以A.由正弦定理，得，则sin C，得C.答案
3、B4.(2017全国卷)已知，tan 2，则cos_.解析由tan 2得sin 2 cos ，又sin2cos21，所以cos2.因为，所以cos ，sin .因为coscos cos sin sin .答案考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin2cos21，tan .(2)诱导公式：对于“，kZ的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan().(4)二倍角公式：sin 22sin cos ，cos 2cos2
4、sin22cos2112sin2.(5)辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中tan .2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)；变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等.(2)余弦定理在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A.(3)三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.热点一三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2017九江一模)已知tan 3，则cos()A. B. C. D.(2)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为
5、A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，AOC.若|BC|1，则cos2sincos的值为_.解析(1)tan 3，cossin 2.(2)由题意得|OC|OB|BC|1，从而OBC为等边三角形，所以sinAOBsin，又因为cos2sincossin cos sin.答案(1)C(2)探究提高1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某
6、种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2017北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin ，则sin _.(2)(2017石家庄质检)若cos(2)，sin(2)，0，则的值为_.解析(1)与的终边关于y轴对称，则2k，kZ，2k，kZ.sin sin(2k)sin .(2)因为cos(2)且2，所以sin(2).因为sin(2)且2，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2).因为，所以.答案(1)(2)热点二正弦定理与余弦定理命题角度1利用正(余)弦定理进
7、行边角计算【例21】 (2017武汉二模)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos Acos C(tan Atan C1)1.(1)求B的大小；(2)若ac，b，求ABC的面积.解(1)由2cos Acos C(tan Atan C1)1，得2(sin Asin Ccos Acos C)1，即cos(AC)，cos Bcos(AC)，又0B，B.(2)由余弦定理得cos B，又ac，b，2ac3ac，即ac，SABCacsin B.【迁移探究1】若本题第(2)问条件变为“若b，SABC”，试求ac的值.解由已知SABCacsin B，ac，则ac6.由余弦定理，得b2a2c2
8、2accos B(ac)23ac，所以(ac)2b23ac21，所以ac.【迁移探究2】在本例条件下，若b，求ABC面积的最大值.解由余弦定理，得b2a2c22accos Ba2c2ac，则3a2c2ac2acac，所以ac3(当且仅当ac时取等号).所以SABCacsin B3sin.故ABC面积的最大值为.探究提高1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统
9、一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积.解(1)由sin Acos A0及cos A0，得tan A，又0A，所以A.由a2b2c22bccos A，得284c24ccos ，即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.命题角度2应用正、余弦定理解决实际问题【例22】 (2017衡
10、水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，BAC60，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为OAC15，A地测得最高点H的仰角为HAO30，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210()米 B.140米C.210米 D.20()米解析由题意，设ACx米，则BC(x40)米，在ABC内，由余弦定理：BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420米.在ACH中
11、，AC420米，CAH301545，CHA903060，由正弦定理：.可得CHAC140(米).答案B探究提高1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度
12、CD_m.解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300(m).在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m).答案100热点三解三角形与三角函数的交汇问题【例3】 (2017长沙质检)已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c，f(C)0，sin B2sin A，求a，b的值.解(1)f(x)sin 2x2cos2x1sin 2x(cos 2x1)1sin 2xcos 2x22sin2，所以函
13、数f(x)的最小正周期T，最小值为4.(2)因为f(C)2sin20，所以sin1，又C(0，)，知2C，所以2C，得C.因为sin B2sin A，由正弦定理得b2a，由余弦定理得，c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又c，所以a1，b2.探究提高1.解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.2.求解该类问题，易忽视C为三角形内角，未注明C的限制条件导致产生错解.【训练4】 (2017唐山调研)已知函数f(x)2cos2 xsin 2x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，a1且f(A)3，求ABC面积S的最大值.
