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1、数学第一轮复习讲义 第二章平面向量 第三十七讲 双曲线【复习目标】（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。（2）了解圆锥曲线的简单应用。【基础知识回顾】1 双曲线的第一定义：平面内动点P与两个定点，（）的_为常数_。当_时，点P的轨迹是双曲线；双曲线的焦点是，焦距是|。当_时，点P的轨迹是_；当_时，点P的轨迹不存在。双曲线的第二定义：平面内与一个定点F和一条直线的距离的比为常数，当时，动点的轨迹是双曲线，定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数叫做双曲线的离心率。（点F不在定直线上）注：若为双曲线上任意一点，设到相应准线的距离为，到相应准线的距离为，
2、则有_.2双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围对称性顶点焦点通径长渐近线点的焦半径离心率实虚轴线段_叫做双曲线的实轴，实轴长为_；线段_叫做双曲线的虚轴，虚轴长为_。注：离心率越_，双曲线的“开口”越大。3求双曲线的渐近线时可令，解出渐近线方程.4、与双曲线有相同渐近线的双曲线系可设为_，若_，则双曲线的焦点在轴上，若_，则双曲线的焦点在轴上。5. 等轴双曲线：实轴和虚轴_的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为_，离心率为_，渐近线方程为_.6、共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做已知双曲线的共轭双曲线，即双曲线的共轭双曲线为_，两都互为共轭双曲线。【基础知识自
3、测】1.（2010安徽理5）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（ ）A、B、C、D、2、已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、0D、3、已知曲线的焦点为、，点在双曲线上且，则点到轴的距离为（ ）A、 B、 C、 D、4.（2010天津理5）已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 ( )（A） （B） （C） （D）5、已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_.6、（2010北京理13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 .【典型例题】一、 双曲线的定义例1 已知两圆，动圆与两
4、圆都相切，求动圆圆心的轨迹方程。跟踪训练： 1、动点P到定点的距离比它到定点的距离小2,则点P的轨迹是（ ）A、双曲线 B、双曲线的一支 C、一条射线 D、两条射线2、在中，动点A满足。求动点A的轨迹方程。二、双曲线的标准方程例2、根据下列条件，求双曲线方程：（1） 与双曲线有共同的渐近线，且过点；（2） 与双曲线有公共焦点，且过点跟踪训练：（2008山东高考）已知圆以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 三、双曲线的几何性质例3、设双曲线的半焦距为，直线过两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率。跟踪训练：1.（2010辽宁理9）设双曲线的个
5、焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） (A) (B) (C) (D) 2.（2010浙江文10）设O为坐标原点，,是双曲线（a0，b0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足P=60，OP=,则该双曲线的渐近线方程为（ ）（A）xy=0 （B）xy=0 （C）x=0 （D）y=0四、双曲线性质的综合应用例4、（08全国）双曲线的中心为原点O，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点F垂直于的直线分别交于两点。已知成等差数列，且与同向。(1)求双曲线的离心率；（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程。第三十七讲 双曲线当堂检
6、测命题人：谷海丽 审核人：董茂庆 使用时间：2011.1.111、双曲线的焦距为（ ）A、 B、 C、 D、2、（2008福建高考）双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.C.(3,+)D.3、（2010福建文3）若双曲线-=1(b0)的渐近线方程式为y=，则等于.4、过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，为坐标原点，为左焦点。（1）求 ；(2)求的面积。第三十七讲双曲线课后定时达标训练命题人：谷海丽 审核人：董茂庆 使用时间：2011.1.11一、选择题1、过点（2,-2）且与有
7、公共渐近线的双曲线方程是（ ）A、 B、 C、 D、2、设和是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ）A、1 B、 C、2 D、3、已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、24、在中，已知，且，则顶点C的轨迹方程是（ ）A、 B、 C、 D、5.（2010浙江理8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）6、已知、是两个定点，点P是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且，和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（ ）A、 B、
8、 C、 D、7、从双曲线的左焦点引圆的切线交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段的中点，为坐标原点，则等于（ ）A、 B、 C、 D、8.（2010海南理12）已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为（A） （B） （C） （D）二、填空题9、已知点P是双曲线上除顶点外的任意一点，、分别为左右焦点，为半焦距，的内切圆与切于点，则=_.10、（2010江苏6）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_.三、解答题 11.（2010山东理21）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.12.（2010广东理20） 已知双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点（1） 求直线A1P与A2 Q交点的轨迹E的方程式；（2） 若过点H(O, h)（h1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。1
