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1、.计算方法习题答案王新民 术洪亮编吉大仪电 春哥 2012/5/10第一章习题答案1. 已知，求的插值多项式。解：由题意知：2. 取节点对建立型二次插值函数，并估计差。解3. 已知函数在处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。 解：（1） 采用Lagrange插值多项式其误差为（2）采用Newton插值多项式 根据题意作差商表：一阶差商二阶差商04216.252.52934. 设，试列出关于互异节点的插值多项式。 注意到：若个节点互异，则对任意次数的多项式，它关于节点满足条件的插值多项式就是它本身。可见，当时幂函数关于个节点的插值多项式就是它本身，故依公式有特别地，当时，有
2、 而当时有 5. 依据下列函数表分别建立次数不超过3的插值多项式和插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。 012419233解：（1） Lagrange 插值多项式 =（2） Newton 插值多项式一阶差商二阶差商三阶差商00111982223143343-10由求解结果可知：说明插值问题的解存在且唯一。6. 已知由数据构造出的插值多项式的最高次项系数是6，试确定。 解：= =中最高次项系数为：7. 设，试利用余项定理给出以为节点的插值多项式。解：由Lagrange余项定理 可知：当时，8. 求作关于节点的插值多项式，并利用插值余项定理证明 式中为关于节点的插值基函数。解：注意到关于节点的插
3、值多项式为其插值余项为 据此令即得。 附加题：设为关于节点的插值基函数，证明 证明：据题4可知，令，则有。注意到 （证明见王能超数值简明教程145页题6）令即有。9. 已知，求差商和。解：根据差商与微商的关系，有10. 已知互异，求。其中。（此题有误。）（见王能超教程P149题2） 解：因为，则 由差商性质可知，11. 设首项系数为1的n次式有n个互异的零点，证明 证明：按题设，有表达式 故原式左端 注意到上式右端等于关于节点的阶差商（见第10页2.1式）利用差商与导数的关系（见2.11式）得知 13设节点与点互异，试对证明 并给出的插值多项式。 解 依差商的定义 ，一般地，设则 故的插值多项
4、式为 14设是任意一个首项系数为1的n+1次多项式，试证明 其中。 解：(1)由题意，可设，由Lagrange插值余项公式得(2) 由(1)式可知， 15给定数据表：1023构造出函数的差商表，并写出它的三次插值多项式. 解：利用Newton插值公式：先作出差商表一阶差商二阶差商三阶差商01313/213/41/22031/61/3325/3-2/3-5/3-2故：16 . 求作满足条件的插值多项式 。 解法1：根据三次Hermite插值多项式：并依条件，得解法2：由于，故可直接由书中（3.9）式，得17设充分光滑，求证 证明：显然，满足条件的插值多项式 由于故 18 求作满足条件的插值多项式
5、，并估计其误差。 解法1：由已知条件0121293用基函数方法构造。令其中，均为三次多项式，且满足条件依条件可设，由 可得：同理，误差为：解法2：用承袭性构造由条件先构造一个二次多项式作差商表：一阶差商二阶差商001112122973于是有：令所求插值多项式利用剩下的一个插值条件，得 由此解出 故有19 求作满足条件的插值多项式。并给出插值余项。 解：令 利用插值条件定出 ： 注意到这里是三重零点，是单零点，故插值余项为 20 求作次数的多项式，使满足条件并列出插值余项。 解法1：由于在处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在处有直到二阶导数值的插值条件所以是“三重节点”。因此
6、利用重节点的差商公式： 可以作出差商表 一阶二阶三阶四阶001111100021101039206115根据Newton插值多项式，有 且插值余项为 21 设分段多项式是以为节点的三次样条函数，试确定系数的值。 解：由可得即解得 22 根据给定的数据表 12324121-1建立一个三次样条插值函数。解： 由已知作差商表0121242231283 节点等距 第二章 习题答案 1. 计算下列函数关于的：注：， 解：（1） （2） （3）（4） 2. 令，试证是在上带权的正交多项式，并求。解：是在上带权的正交多项式。3. 是区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式族，其中，求。 解法一：解法二：设，
7、则由4. 求，使积分取得最小值。解：题意即为在中求的最佳平方逼近多项式，故满足法方程或者按下述方法：因为上式分别对求偏导，并令其为零，有从而也有 ，5. 对，定义 问它们是否构成内积？（1）推出,即为常数，但不一定为0，故（1）不构成内积。（2）显然内积公理的1），2），3）均满足，考察第四条 若，则必有反之，若，则且，由此可推得, 即内积公理第四条满足，故（2）构成内积。6. 对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式。解： 7. 利用正交化方法求上带权的前三个正交多项式。解：8. 判断函数在上两两正交，并求一个三次多项式，使其在上与上述函数两两正交。解：（1）， ， 所以，在上两两正交。
8、（2）设所求多项式为 9. 用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解。注：给定线性代数方程组，当时，称其为超定方程组。求使得 取最小值。应用微分学中多元函数求极值的方法可以证明为方程组 的解。称为超定方程组的最小二乘解。解法一：由题意得：所以即是所求的最小二乘解。误差平方和为 解法二：求，使误差平方和为最小，令得方程组如下： 解方程组有： 10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。 192531384419.032.349.073.397.8解：将=19,25,31,38,44分别代入，得 所以误差11. 求形如的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合。12
9、3456781532052743664916568781176解：设，两边取对数得令，则有 设，于是得到正规方程组:其中, ， 正规方程组化为:得=2.43689 =0.291211=2.43689所以=11.45 =0.291211=2.43689所以=11.45 1=0.29121112. 求函数在给定区间上对于的最佳平方逼近多项式： 解：设（1）(2) 。 13. 上求关于的最佳平方逼近多项式。解：Legendre是-1，1上的正交多项式取，=14. 求在上的三次最佳平方逼近多项式。解：15. 已知勒让德多项式，试在二次多项式类中求一多项式，使其成为上的最佳平方逼近函数。解：,设 由题意
10、可知 即： 即：解得：16. 求上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。解：设 第三章习题答案1. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分计误差。解：1）用梯形公式有：事实上，2）Simpson公式事实上，3）由Cotes公式有：事实上，2证明Simpson公式具有三次代数精度。证明：而当时左侧：右侧：左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.(1)，（3），（4）解：（1）用复化梯形公式有：，由复化Simpson公式有：解（3）： 由复化梯形公式有：由复化公式有：（4）解：由复化梯形公式：由复化Simpson公式：4给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式，并写出它的截断误差。解： 考虑到对称性，有，于是有求积公式
