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1、初二数学寒假专题中考试题与平行四边形华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题中考试题与平行四边形二. 重点、难点： 1. 重点： 用平行四边形和特殊平行四边形的性质解答中考题;中考题中梯形与等腰梯形的性质及梯形中的辅助线. 2. 难点： 综合运用平行四边形及特殊平行四边形和等腰梯形解答中考题.三. 知识梳理：与平行四边形有关的试题可分为低、中、高档题，命题形式有填空题、选择题、解答题、探索题、证明题等等.本讲首先通过举例分析近两年与平行四边形及特殊的平行四边形有关的考题的类型，然后提出解中考题的有关策略.（一）近两年与平行四边形及特殊的平行四边形有关的考题的类型中考数学命题对平行四边
2、形部分的内容主要涉及以下几个方面：1、考查平行四边形的定义、性质定理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，由它们的中心对称性及矩形、菱形、正方形兼有的轴对称性都是考查的重点.例如，这些图形对角线交点是它们的对称中心，矩形和菱形还分别由两条对称轴，正方形则有四条对称轴.因而位于对称位置的元素或三角形，都是可证相等或全等的.2、与梯形有关的题目梯形只有一组对边平行，据此引出的性质较少，因此解决有关梯形的题目往往需要添加辅助线，把梯形的有关问题转化为三角形的问题来解决.解决梯形问题的基本思路是：梯形问题三角形或平行四边形问题即通过添加辅助线把梯形分割或拼接而转化为三角形或平行四边形.要解答这类题目必
3、须熟悉梯形中常用的添加辅助线的方法.平行四边形的有关内容贯穿于初中的全过程，它可以把几何与代数的内容有机的结合在一起，涉及它的试题可分为低、中、高档题，命题形式有填空题、选择题、解答题、探索题、证明题等等.（二）解答与平行四边形有关中考题时的思想方法对于平行四边形的学习，我们认为应重在加强对数学思想方法的训练和强化，这一章内容主要涉及的数学思想有：来源:Zxxk.Com1、转化的思想所谓转化的思想方法，是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到生疏、困惑，可以把它进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思维方法.这种思想是科学研究和数学学习中常用的一种基本数学思想方
4、法.本章中突出体现转化思想的地方有两处：一是通过把四边形的问题转化为三角形的问题来解决.二是把梯形问题转化为平行四边形和三角形的问题来解决.通过作一腰或对角线的平行线，把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形.这两处的转化都是通过添加“辅助线”来实现的.2、方程的思想方程思想的核心是运用数学的符号化语言，问题中已知量和未知量（或参变量）之间的数量关系，抽象为方程（或方程组）、不等式等数学模型，然后通过对方程（或方程组）、不等式的变换求出未知量的值，使问题获解.方程思想体现了已知和未知的对立统一关系.在求四边形的角或边时，常用到方程的思想.3、变换的思想我们学习的中心对称是一种全等变换，即一个图形
5、与它的中心对称图形是全等的，因而其对应元素相等.轴对称和中心对称虽然不同，但它们都是解答几何题时常用的全等变换.证明三角形中位线定理用的就是中心对称的性质.在应用时要注意，轴对称图形若有两条互相垂直的对称轴，则它也一定是一个中心对称图形，其对称轴就是两对称轴的交点.例如，矩形、正方形和圆等既是轴对称图形，也是中心对称图形.【典型例题】例1. （06年河北省）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分BAD交BC于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）A. 2和3 B. 3和2 C. 4和1 D. 1和4分析：根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质可解.解：选B.例2. （06
6、年安徽省）如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是 .来源:学#科#网来源:学科网分析：仔细观察图形可发现两个直角三角形全等.解：容易知道两个直角三角形全等，所以正方形的边长为. 例3. （05年济南市）如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了31m，则长方形花坛ABCD的周长是（ ）A. 36m B. 48m C. 96c
7、m D. 60m 分析：小明所走的路线是由正方形的对角线组成的，而正方形的对角线与边长有关，因此可设长方形ABCD的宽为x，依次把对角线用x表示出来，在RtABO中，由勾股定理，得AO=x，同理OO1=x，O1O2=x，O2O3=x，O3O4=x，由题意知，x+x+x+x+x=31，解得x=16，故花坛ABCD的周长是166=96. 解：选C.方法提炼：设出长方形的宽是解决本题的关键. 例4. （06年威海市）如图，梯形纸片ABCD，已知ABCD，AD=BC，AB=6，CD=3.将该梯形纸片沿对角线AC折叠，点D恰与AB边上的E点重合，则B= .分析：本题根据折叠的性质易知重叠的边、角相等，就
8、很容易求B的度数解：由折叠可知：DC=CE=AE，又因为AB=6，CD=3，所以BE=3，所以BE=CE=BC，所以BCE是等边三角形，故B=600点评：本题是以梯形为背景的折叠计算题，它既考查了折叠的有关知识又考查了梯形的有关知识，题目不难但很具有思考性.例5. （06年浙江省）现有一张长和宽之比为21的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图1（1）（虚线表示折痕）.除图1（1），请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图2至图中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”
9、得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作.如图1（1）和图1（2）是相同的操作）.分析：通过实际操作可得答案.解：如图3.例6. （06年山西省）将一张纸片沿任何一方翻折，得到折痕AB（如图1）；再翻折一次， 得到折痕OC （如图2；翻折使OA与OC重合，得到折痕OD（如图3）；最后翻折使OB与OC重合， 得到折痕OE（如图（4）；再恢复到图1形状，则DOE的大小是 度.来源:Zxxk.Com来源:学#科#网分析：本题是以矩形为背景折纸探索规律题，虽然是道小小的填空题，主要考查学生的动手操作能力和观察判断能力以及空间想象能力，只要学生用草稿纸折折即出结果.解：答案应是90. 例7. （06年
10、衡阳市）已知，如图，ABCD中，ABAC，对角线AC、BD交于0点，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；来源:学+科+网分析：本题是以平行四边形为背景的开放题，它综合考查了平行四边形的性质、菱形以及旋转和中心对称等知识，只要认真观察和操作，问题便不难解决. 解：（1）证明：当AOF=90时，ABEF，又因为AF BE，根据平行四边形定义，所以，四边形ABEF为平行四边形.（2）证明：因为四边形ABCD为平行四边形，且平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，
11、所以，在旋转过程中总有AOFCOE，根据全等图形的定义，所以AF=EC.点评：这是一道考查学生对几类特殊四边形的性质的题目，由于平行四边形是中心对称图形，所以只要过对称中心的任一直线都将平行四边形平分，这样就能得到全等三角形，从而问题得到解决，同时可以观察在旋转的过程中哪些量是不变的. 来源:Zxxk.Com例8. （06年河北省课程改革实验区）如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起. 现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转. （1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察
12、或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 分析：本题是以正方形为背景的操作探究题，以学生非常熟悉的学具-等腰直角三角尺进行操作，只要动手、动脑就能发现不变量，用“不变应万变”、“以静制动”，借助正方形和全等知识就可以解决了. 解：（1）BM=FN. 证明：因为GEF是等腰直角三角形，又因为四边形ABCD是正方形，是中心对称图形，点O是对称中心.根据其中心对称性可得 OB
13、MOFN ，所以 BM=FN. （2）BM=FN仍然成立. 来源:学科网证明：因为GEF是等腰直角三角形，又因为四边形ABCD是正方形，是中心对称图形，点O是对称中心.根据其中心对称性可得 OBMOFN ，所以 BM=FN. 点评：本题是一道以正方形为背景的三角板操作题，它推广旋转角度的变化，来探究图形的规律，寻找出不变量，并证明猜想的开放题. 例9. （06年益阳市）如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中ABAD，CBCD.（1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线ACBD，垂足为E，并且BEED，你同意王云同学的判断吗？请充分说明理由；
14、（2）设对角线ACa，BDb，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积.分析：本题结合图形很容易解决第（1）问，第（2）问在第（1）问的“ACBD”的启发下，很容易想到用三角形的面积公式来解决问题解：（1）王云同学的判断是正确的. 理由是，根据题设，ABAD，点A在BD的垂直平分线上.CBCD，点C在BD的垂直平分线上. AC为BD的垂直平分线，BEDE，ACBD.（2）由（1）得ACBD. .点评：本题通过学生常见、常玩的“风筝”为背景，新颖、别致，贴近生活实际，趣味性强，可以激发学生的做题欲望和学好数学的信心例10. （06年北京）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个
15、四边形为等对角线四边形. 请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论. 分析：解题的关键是如何合理运用两条等对角线，可采用平移的方法将两条等对角线移到同一三角形中，可得等边三角形，利用三角形三边关系发现结论.解：（1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等. （2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长. 已知：四边形中，对角线，交于点，且. 求证：. 证明：过点作，在上截取，使. 连结，. 故，四边形是平行四边形. 所以是等边三角形，. 所以. 当与不在同一条直线上时（如图（1），在中，有. 所以. 当与在同一条直线上时（如图
