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1、逸学辅导中心初中数学之平面图形及其位置关系 第四章 平面图形及其位置关系一、基础知识梳理（一）主要概念1线段、射线、直线 （1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段 线段的特点：是直的，它有两个端点 （2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线 射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸 （3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸2线段的中点 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点 利用线段的中点定义，可以得到下面的结论： （1）因为AM=BM=AB，所以M是线段AB的中点 （2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM
2、=AB或AB=2AM=2BM3角 由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用、表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算：1=60，1=60。5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。（3
3、）0锐角90，直角=90，90钝角180，平角=180，周角=360。4角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线5平行线 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线 平行的关系是相互的，如果ABCD，则CDAB，其中符号“”读作“平行”6两条直线垂直 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，如直线AB与直线CD垂直，记作ABCD7两点之间的距离 两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离8点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
4、（二）主要性质1直线的性质 经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”2线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短3与平行线有关的一些性质 （1）平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 （2）平行公理的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行4垂线性质 （1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短二、典型例题1考查学生发现问题、解决问题的能力 【例1】（2003年黑龙江）从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（ ）
5、A4种 B6种 C10种 D12种 【例2】（无锡）L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_个交点；如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_个交点（用含n的代数式表示）2线段长度的计算，线段的中点【例3】某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停
6、靠点的位置应设在（ ）3角的度量与换算 【例4】（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（ ） A70 B75 C85 D90三、解题方法与技巧方法1：见比设元 【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长 【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K是常见的解法 【解】AB：BC：CD=2：4：3 设AB=2K BC=4K CD=3K AD=3K+2K+4K=9K CD=9 3K=9 K=3 AB=6 BC=12 AD=27 M为AD中点， MD= AD=27=13.5 MC=MD-CD=13.5-9=4.5 【规律总结】
7、不论是有关线段还是有关角的问题，只要有比值，就设未知数方法2：利用线段的和差判断三点共线 【例2】判断以下三点A、B、C是否共线 （1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm； （2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm 【解】（1）AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm， AB=AC+CB A、C、B三点在同一条直线上 （2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm， ABAC+CB A、C、B三点不共线方法3：寻找规律 （一）数直线条数：过任三点不在同一直线上的n点一共可画条直线 （二）数n个人两两握手能握次 （三）数线段条数：线段上有n个点（包括线段两
8、个端点）时，共有条线段（四）数角的个数：以0为端点引n条射线，当AOD180时，则（如图）小于平角的角个数为 （五）数交点个数：n条直线最多有个交点 （六）数对顶角对数：n条直线两两相交有n（n-1）对对顶角 （七）数直线分平面的份数：平面内n条直线最多将平面分成1+个部分 【例3】同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ） A1条 B4条 C6条 D1条或4条或6条 【例4】一张饼上切七刀，最多可得到几块饼【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一张饼被分成两部分；当切2刀时，一张饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一张饼被最多分成七部分；若用n表示切的刀数，饼被最多分成S部分则
9、：n=1时S=2；n=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11【解】设一张饼被切n刀，最多分成S部分，如图2-6可知： n=1时 S=1+1 n=2时 S=1+1+2 n=3时 S=1+1+2+3 n=4时 S=1+1+2+3+4 则S=1+1+2+3+4+n=1+ 当n=7时，S=1+=29 答：当上张饼上切7切时，最多可得到29块饼 【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从特殊到一般的方法寻找规律，再按照从一般到特殊的方法应用规律解决问题方法4：钟表问题 【例5】钟表现在是1点15分，分针再转多少度，时针与分针首次重合 【分析】分针1分钟走（）=6，时针1分钟走（）=0.5
10、（分针1小时走一圈，即60分钟走360，时针1小时走一格，即60分钟走30）因此，分针速度是时针速度的12倍，故设分针走12x，时针走x时时针与分针首次重合，因为从1点整到1点15，分针走一圈的，此时时针走一格的，因此1点15分时时针与分针夹角（1+）30=52.5列方程可求解 【解】设时针走x时，时针与分针首次重合 依题意，得： 12x-x=360-（30） 解得： x=， 12x=335 答：分针再转335度，时针与分针首次重合方法5：最优策略问题直线上有两点（如图）A1和A2，要在直线上找一点P，使A1、A2到P的距离之和最小，则P点可放在A1、A2之间任意位置（包括A1和A2）此时PA
11、1+PA2=A1A2直线上有三点A1、A2、A3（如图）要找到一点P，使PA1+PA2+PA3的和最小 不妨设P在A1、A2之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2； 若P在A2、A3之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2； 若P在A1上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A1A2； 若P在A2上，则PA1+PA2+PA3=A1A3 若P在A3上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A2+A3 结论：当P选在A2点时PA2+PA2+PA3的和最小，其最小值为A1A3不难发现，当直线上有四个点时，如图所示P点选在A2A3上（包括端点）可使P到A1、A2、A3、A4的距离之
12、和最小其最小值为A1A4+A2A3当直线上有五个点时，如图所示P点选在A3上，可使P到A1、A2、A3、A4、A5的距离之和最小，其最小值为A1A5+A2A4 【规律总结】当直线上有偶数个点时，P应选在最中间两点之间（可与这两点重合）；当直线上有奇数个点时，P点与最中间的点重合，可使P到各点距离之和最小四、中考试题归类解析（一）线段，角【例1】（2003，青海），如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不正确的是（ ） ACD=AC-DB BCD=AD-BC CCD=AB-BD DCD=AB 【例2】（2004，黑龙江）一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面
13、镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（ ）A45 B60 C75 D80（二）平行【例1】（2003，安徽）如图，已知ABCD，ACBC，图中与CAB互余的角有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个【例2】（2004，安徽）如图，已知ABDE，ABC=80，CDE=140，则BCD=_五、中考试题集萃一、填空题1（2003年，青海）如图1，两平面镜、的夹角为，入射光线AO平行于入射到上，经过两次反射后的出射光线OB平行于，则角=_度2（2003，长沙）如图2，ABCD，EF分别交AB、CD于点E、F，1=70，则2=_度 （1） （2） （3） （4）3（2003，河南）如图3，直线L1L2，ABL1，垂足为O，BC与L2相交于点E，若1=43则2=_度4（2003，福州）如图4，直线a、b被直线c所截，且ab，如果1=60，那么2=_度5
