《有理不等式解法记要.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有理不等式解法记要.doc（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、万源市第三中学有理不等式解法记要万源市第三中学紫静高中数学中，不等式占有重要的地位，这其中，有理不等式的解法又占有举足轻重的地位，为此，特将有理不等式的解法归纳整理如下：定理一、记(x) = (x-x1) (x-x2) (x-x3)(x-xn)，则(x) = 0的n 个根为：x1，x2，xn，且x1x2x3xn，这n个数把实数集分成n+1个区间：(-,x1)，(x1,x2)，(xn-1,xn)，(xn,+)。若从右至左依次标记各个区间为：“+”、“-”、“+”、“-”，直到标记完毕，则标记为“+”号的区间的并集是不等式(x)0的解集，标记为“-”号的区间的并集是不等式(x)0的解集。例1设(x
2、) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则(x) = 0的根为1，2，3，4，这四个数把实数集分为五个区间：(-,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,+)。从右到左标记为“+”号的区间是：(4,+)，(2,3)，(-,1)，标记为“-”号的区间是(3,4)，(1,2)，(x)0的解集为：(-,1)(2,3)(4,+)， (x)0的解集为：(1,2)(2,3)定理二、若(x) = (x-x1) (x-x2) (x-xk-1) (x-xk)2n(x-xk+1)(x-xn)，nN，则(x)0 等价于：，(x)0 等价于：，其中j(x)= (x-x1) (x-x2) (x-xk-
3、1) (x-xk+1)(x-xn)。（注意： j(x)不含因式(x-xk) ！）例2设(x) = (x-1)(x-2)(x-3)6(x-4)，则(x)0 等价于：，由此有(x)0的解集：(1,2)(4,+); (x)0等价于： ，进而有(x)0的解集: (-,1)(2,3)(3,4)定理三、若(x) = (x-x1) (x-x2) (x-xk-1) (x-xk)2n-1(x-xk+1)(x-xn)，nN，则(x)0 等价于：(x-x1) (x-x2) (x-xk-1) (x-xk) (x-xk+1)(x-xn)0，(x)0 等价于：(x-x1) (x-x2) (x-xk-1) (x-xk) (
4、x-xk+1)(x-xn)02005年3月24日例3.设(x) = (x-1)(x-2)(x-3)5(x-4)，则(x)0 等价于：(x-1)(x-2)(x-3) (x-4)0，从而(x)0的解集为：(-,1)(2,3)(4,+)，(x)0的解集为：(1,2)(2,3)定理四、0等价于：(x)j(x)0；0等价于：(x)j(x)0；例4.解不等式：0解：原不等式等价于(x2-3x+2)(x2-2x-3)0，即：(x-1)(x-2) (x-3)(x+1)0，由此有原不等式的解集：(-1,1)(2,3)定理五、0等价于：；0等价于：；例5.解不等式：0解：原不等式等价于：，由此有原不等式的解集：(
5、-,1)(2,+)定理六、0a(x)b等价于(x)-a)( (x)-b)0例6.解不等式：0x2-x-24解：原不等式等价于：(x2-x-2-0)( x2-x-2-4)0即：(x2-x-2)( x2-x-6)0也即：(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)0由此有原不等式的解集：(-2,-1)(2,3)定理七、设a0，则|(x)|a等价于(x)a或(x)-a，也等价于2(x)a2，进而等价于(x)+a)( (x)-a)0；|(x)|a等价于-a(x)a，也等价于2(x)a2，进而等价于(x)+a)( (x)-a)0；例7.解不等式：|x-1|3解：原不等式等价于：(x-1-3)(x-1+3)0
6、即：(x-4)(x+2)0由此有原不等式的解集：(-,-2)(4,+)定理八、0a|(x)|b等价于a22(x)b2，也等价于： (2(x)-a2)( 2(x)-b2)0，进而等价于：(x)-a) (x)+a) (x)-b) (x)+b)0例8.解不等式：1|(x)|2解：原不等式等价于：(x-1-1) (x-1+1) (x-1-2) (x-1+2)0即：x(x+1)(x-2)(x-3)0由此有原不等式的解集：(-1,0)(2,3)以上八个定理，将高中可能遇到的各种类型的有理不等式的解法最终归结为三个定理：定理一、二、三，而定理二、三又是定理一的特殊情况。从这个意义上说，我们最终将有理不等式的解法归结为一个定理：定理一。
