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1、二元一次方程【1】若厶ABC的边长为a、b、c，且满足a2+b2+c2二ab+bc+ca，则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.任意三角形D.不能确定考点：因式分解的应用分析：利用完全平方公式进行局部因式分解，再根据非负数的性质进行分析解答：解：Ta2+b2+c2二ab+bc+ca,2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0,.a=b=c,.三角形是等边三角形故选B.点评：此题考查了完全平方公式的运用和非负数的性质，即几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0【2】用配方法证明代数式2x2-4x+5的值恒大于零.考点：配方法的
2、应用；非负数的性质：偶次方分析：把含x的项提取2后，配方，整理为与原来的代数式相等的形式即可.解答：解：2x2-4x+5,=2（x2-2x+1）+3,=2（x-1）2+3,2（x-1）2为非负数，2（x-1）2+3为正数，.2x2-4x+5的值恒大于零.点评：考查配方法的应用；若证明一个代数式的值为非负数，需把这个代数式整理为一个完全平方式与一个正数的和的形式【3】如果关于x的方程（m+2）x2-2（m+1）x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x的方程（m+2）x2-2mx+m-1=0的根为（）A.34B.1或3C.-1或3D.1或-3考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法分析：由关于
3、X的方程(m+2)X2-2(m+1)x+m二0有且只有一个实数根，有m+2=0,即沪-2,然后把m=-2代入关于x的方程(m+2)x2-2mx+mT=0,得到4x-3=0,解方程即可.解答：解：关于x的方程(m+2)x2-2(m+1)x+m二0有且只有一个实数根，.m+2=0,即m=-2，把m=-2代入关于x的方程(m+2)x2-2mx+m-1=0,得到4x-3=0,解得x=34.故选A.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a壬0,a,b,c为常数)和一元一次方程的定义【4】如果关于x的方程x2-2(1-k)x+k2=0有实数根a,B,那么a+B的取值范围.考点：根与系数的关系；
4、根的判别式分析：先根据方程有实数根，求出k的取值范围，再根据根与系数的关系求出a+B的取值范围解答：解：关于x的方程x2-2(1-k)x+k2=0有实数根a,0,二2(1-k)24X1Xk20,解得kV12,a,0是二次函数的两个根，.a+0=2(1k)=22k,又VkC0,PCAP+P0,PCPB.APCPBP【2】（2004本溪）已知点P是半径为5的圆0内一定点，且0P=4,则过点P的所有弦中，弦长可能取到的整数值为（）A5，4，3B10，9，8，7，6，5，4，3C10，9，8，7，6D12，11，10，9，8，7，6考点：垂径定理；勾股定理分析：由于点P是圆内的定点，所以过点P最长的弦
5、是10,最短的弦是垂直于OP的弦，利用垂径定理和勾股定理求出最短的弦长为6,因此过点P的所有弦中整数值是6、7、8、9、10五个值解答：解：点P是圆内的定点，所以过点P最长的弦是直径等于10,最短的弦是垂直于0P的弦，如图示，0P丄AB,.AP二BP,由题意知，0A=5,OP=4,在RtAAOP中，AP=52-42=3,.AB=6，即过点P的最短的弦长为6,所以过P的所有弦中整数值是6、7、8、9、10.故选C.点评：解决与弦有关的问题时,往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r,弦长为a,这条弦的弦心距为d，则有等式严二d?+（a/2）2成立,知道这三个量中的
6、任意两个,就可以求出另外一个【3】（2010*芜湖）如图所示，在圆00内有折线0ABC，其中0A二8,AB=12,ZA=ZB=60，则BC的长为（）A.19B.16C.18D.20考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质.分析：延长A0交BC于D,根据ZA、ZB的度数易证得AABD是等边三角形，由此可求出0D、BD的长；过0作BC的垂线，设垂足为E；在RtAODE中，根据0D的长及Z0DE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE,由此得解.解答：解：延长A0交BC于D,作0E丄BC于E;VZA=ZB=60o,AZADB=60;.ADB为等边三角形；.BD=AD=AB=1
7、2；.0D二4，又VZADB=60,.DE二12OD=2；.BE二10;.BC二2BE二20;故选D.点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用.【4】（2010德州）已知三角形的三边长分别为：3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是（）A0,1,2,3B0,1,2,4C0,1,2,3,4D0,1,2,4,5考点：直线与圆的位置关系分析：根据勾股定理可得三角形为直角三角形,求出三角形内切圆的半径为1,圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个解答：解：.32+42=25,52=25,三角形为直角三角形，设内切圆半径为r,贝q1/2（3+4+5）r=1/2
8、X3X4,解得r=1,所以应分为五种情况：当一条边与圆相离时,有0个交点,当一条边与圆相切时,有1个交点,当一条边与圆相交时,有2个交点,当圆与三角形内切圆时,有3个交点,当两条边与圆同时相交时,有4个交点,故公共点个数可能为0、1、2、3、4个故选C.点评：本题考查线段与圆的交点的情况,需要考虑所有的可能情况,先求出内切圆半径是解题的关键【5】某地有一座圆弧形拱桥,圆心为0,桥下水面宽度为7.2m,过0作OC丄AB于D,交圆弧于C,CD二2.4m（如图所示）.现有一艘宽3m、船舱顶部为方形并高出水面AB2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？考点：垂径定理的应用.分析：连接0N,0
9、B，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过,MN小于等于3则不能通过）.先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据RtA0EN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长.解答：解：如图，连接ON,0B.TOC丄AB,.D为AB中点，TAB二7.2m,.BD二12AB=3.6m.又CD=2.4m,设OB二OC二ON二r，则OD=r-2.4m.在RtABOD中，根据勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62,解得r=3.9m.TCDPMm，船舱顶部为方形并高出水面AB2m,.丄二2.42二0.4尬，.OE
10、二弋二3.90.4二3.5尬，在RtAOEN中，EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96,.EN二2.96.MNPENPX2.96=3.44米3米.此货船能顺利通过这座拱桥.点评：解决此类桥拱问题，通常是利用半弦，半径和弦心距构造直角三角形，根据直角三角形中的勾股定理作为相等关系解方程求线段的长度.要注意本题是通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）.rD【6】（2005河南）空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，AABC是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆0的两个三等分点
11、，CG、DG分别交AB于点E、F，试判断点E、F分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）.考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.分析：作出辅助线0CAG,便可证明出AEGAOEC,于是可知各线段的比，求出AE=EF=FB.解答：解：点E、F均为所在线段的三等分点，连接0C，设圆的半径长是r,则AB=AG=2r.VZC0A=60o,ZGAC=60,.OCAG,.AEGsOEC,.0E:AE=CO:AG=r:2r=1:2,又TOE二OF二12EF.EF:AE=1:1,同理可证：BF:FE=1:1,故AE=EF=FB.点评：本题将实际问题和三角形相似，圆心角、弧、弦之间的关系联系起来，体现了数学应用于生活，来源于生活的理念.【7】如图所示，0M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P,Q两点，P点在Q点的下方，若P点坐标是(2,1),则圆心M的坐标是()A.(0,3)B.(0,5/2)C.(0,2)D.(0,3/2)考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理；切线的性质.分析：连接MP,过M作MA丄PQ于A,设。M的半径为R,所以MP二R,PA二RT,MA二PB二2,根据勾股定理则有：MP2二MA2+PA2,即可求得R=5/2.解答：解：连MP,过M作MA丄PQ于A,则PB二M
