一、等差数列 1.定义：a - a = d (常数)2.通项公式：a = a + (n - 1)d3.变式：an=a + (n - m)d m4.前n项和:S (a + a )nn 2n(n 一 1), 或 S = a n +——2——d5.几何意义:① a = a + (n - 1)d = a + dn - d 艮口 a = pn + q 类似 y = px + q② S =— n 2 + (a -—)n 艮口 S = An2 + Bn 类似 y = Ax2 + Bx n 2 12 n '6. ｛a ｝等差=a = pn + q = S = An2 + Bn = a= n+1 = a — a = d2 n+1 n7.性质① m + n = p + q 贝a + a = a + a② m + n = 2 p 贝a + a = 2a③ a + a = a + a = a + a =1 n 2 n-1 3 n-2④ Sm、S2m-m、S3m-2m 等差⑤ ｛叩等差，有2n +1项，则S奇 = %偶⑥ a = —2n-1- n 2n — 1二、等比数列1. 定义：^*+1 = q(常数)an2. 通项公式：a = a1 qn-13. 变式：a = a qn-mna14. Sn十1(1-勺心、1 - qn = qn-m(q = 1)(q 丰 1)前n项和:a (1 - qn)(q = 1)或 S = 一Jn 1 - q5.变式：SSm1 - qn1-qm (q"1)则可适用于通6.性质:① m + n = p + r 贝。
a - a = a - a② m + n = 2 p 贝a - a = a 2③ a - a = a - a = a - a1 n 2 n-1 3 n-2④ Sm、S 2m-m、'3m_2m 等比 ⑤｛a ｝等比，有2n +1项S = a + a + a + + a = a + q(a + a + + a ) = a + qS 奇 1 3 5 2n+1 1 2 4 2n 1 偶三、等差与等比的类比Z ｝等差 b ｝等差nn和 积差 商系数 指数“0” “1”四、数列求和1.分组求和 通项虽不是等差或等比数列，但通项是由等差或等比数列的和的形式， 进行拆分，分别利用基本数列的和公式求和.如求｛n(n +1)｝前n项的和: •/ n(n +1) = n 2 + n]・•・ S = (12 +1) + (22 + 2) + …+ (n2 + n) n=(12 + 22 + 32 + …n 2) + (1 + 2 + 3 + …+ n)=L n(n +1)( 2n +1) + 上 n(n +1)6 2=3 n(n + 1)(n + 2)2・裂项相消法.把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法, 项为一1一的前n项和，其中｛a ｝为等差数列,一1一 = L(L-上).a - a n a - a d a an n+1 n n+1 n n+1常见的拆项方法有:m 1 -1_ 1 .(1) ;n(n +1) n n +1(2) 1 = - (^^ - -^);(2n - 1)(2n +1) 2 2n -1 2n +1(3) = 1[-- ];n(n + 1)(n + 2) 2 n(n +1) (n + 1)(n + 2)⑷1 亍=二(3-4b);、a + 履 a -b(5) Cm-1 = Cm - Cm；(6) nn n!= (n + V)\-ri\ ；(7) a = S — S (n > 2).3.错位相减法.利用等比数列求和公式的推导方法求解，一般可解决形如一个等差数列和一个等比 数列对应项相乘所得数列的求和.如：等比数列｛aj前n项和公式的推导:S = a + a + a + •…+ an 1 2 3 n n (1 - q)S = a - aqS = a + a + + a + a n 1 .n 2 3 n n+1n+1na1n < a (1 - qn)_ a - a q1 - q 1 - q(q = 1)(q 力 1).。