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1、空间向量运算的坐标表示学习目标1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.y、学习过程一、课前准备(预习教材p95p97,找出疑惑之处)复习1：设在平面直角坐标系中，A(1,3), B(-1,2)，则线段I AB |=,复习 2：已知 a = (3,2,5 ),b = (1,5,1)，求：(l)a+B.3ab；(3)6A.；a b.、新课导学淤学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1.向量的模：设 a= (aa2,a3)，01 a 1=2. 两个向量
2、的夹角公式：设 a= (a ,a ,a ), b= (b ,b ,b ),123123由向量数量积定义：a b = lallblcos, 又由向量数量积坐标运算公式：ab= 由此可以得出：cos= 试试: 当cos = 1时，a与b所成角是； 当cos = 1时，a与b所成角是 ； 当cos=0时，a与b所成角是 ,即a与b的位置关系是，用符合表示为 反思：设 a= (a ,a ,a ), b= (b ,b ,b )，则 .123一 .、12一 3a/B. = a与b所成角是= a与b的坐标关系为ab o a与b的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点A(x,y ,z
3、 ) , B(x ,y ,z )，则线段AB的长度为： 11 一 1222AB = ：(x x )2 + (y y )2 + (乙一乙)2 .2112124. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点A(x,y ,z )，B(x ,y ,z )，则线段AB的中点坐标为:111222求BE111例1.如图，在正方体ABCD - ABCD中，点E , F分别是AB , CD的一个四等分点，与DF所成的角的余弦值.1ABBE =DF =r 11 11 13求BE与DF所成角的余11变式：如上图，在正方体ABCD - ABCD中，1111弦值.例2,如图，正方体ABCD - ABCD中，点E,F
4、分别是BB , DB的中点，求证：EF DA .111111 11变式：如图，正方体ABCD - ABCD中，点M是AB的中点，求DB与CM所成角的余弦 11111值.小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐 标，然后再用公式计算.淤动手试试练 1.已知 A(3,3,1)、B(1, 0, 5),求：线段AB的中点坐标和长度；到A、B两点距离相等的点P(x, y,z)的坐标x、y、z满足的条件.练2.如图，正方体的棱长为2,试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标， 并和你的同学交流.三、总结提升Z淤学习小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点
5、间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐 标，然后再代入公式进行计算.淤知识拓展在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对 表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量. 二维向量和三维向量统称为几何向量.一学习评价淤自我评价你完成本节导学案的情况为().A.很好 B.较好 C. 一般 D.较差淤当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：1. 若 a= (a , a , a )，b = (b ,b ,b )，则-r =弓=% 是 a / b 的()1
6、2 31 2 3 b b bA.充分不必要条件B.必要不充分条件123C.充要条件D.既不充分又不不要条件ff f2. 已知 a =(2,1,3),b = (-4,2, x)，且a b，则 q x=.3. 已知A(1,0,0),B(0,-1,1),秘+人OB与OB的夹角为120，则人的值为()A.土通 B.虽 C.-技D. 帛6664. 若a = (x,2,0 ),b = (3,2-x,x2)，且诵的夹角为钝角，则x的取值范围是()A. x 4B. 4 x 0C. 0 x 45. 已矢口 a = (1,2, -y),b = (x,1,2)， 且(a + 2b)/(2a - b)，则()12,y = 4A 1A. x = , y = 1B. x =3C. x = 2, y = D. x = 1,y = 14八c1* 一课后作业：1.如图，正方体ABCD ABCD棱长为a，求AB,BC的夹角；求证：AB 1 AC.2,如图，正方体ABCD ABCD中，点M,N分别为棱AA,BB的中点，求CM和DN所1111111成角的余弦值.设计教师：崔老师空间向量与立体几何
