概率统计习题册答案.doc

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1、一、概率公式的题目1、已知 求 解：2、已知 求解：。3、已知随机变量，即有概率分布律，并记事件。 求：（1）； （2） ； （3） 。解：（1）； （2）（3）4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”， =5、为了防止意外，在矿内同时设两种报警系统，每种系统单独使用时，其有效的概率系统为0.92，系统为0.93，在失灵的条件下，有效的概率为0.85，求：（1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）失灵的条件下，有效的概率。解：设“系统有效”,

2、“系统有效”, , 6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为，刮风（记作事件）的概率为，既刮风又下雨的概率为，求。解：；。二、已知密度（函数）求概率的题目1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ，任取其中3只，求使用最初150小时内，无一晶体管损坏的概率。解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为 设Y为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则.故有2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X，它的分布密度为，若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？解：每天供电量80万千

3、瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。所以。3、某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度，现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则，4、某些生化制品的有效成分如活性酶，其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下，该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期，它显然是随机变量，记为X。多数情况下，可以认为

4、X服从指数分布。设它的概率密度函数为： （的单位为月）（1）从一批产品中抽取样品，测得有50的样品有效期大于4个月，求参数的值。（2）若一件产品出厂12个月后还有效，再过12个月后它还有效的概率有多大？解：指数分布的分布函数为（）（）5、设K在（-1，5）上服从均匀分布，求的方程有实根的概率。解：要想有实根，则则，又因为，所以。三、分布函数、密度函数的题目1、设随机变量X的分布函数为，(1) 求系数A ，B； (2) 求； (3) 求X的分布密度。解：（1）由F(x)在处的右连续性知 解之得（2）（3）因为，则2、设随机变量的分布函数为 ，求：（1）常数； （2）； （3）的密度函数。解：（1

5、）由分布函数的右连续性知： ，所以；（2）； （3） 。3、设随机变量的分布函数为 ，求：常数； ； 的密度函数。解：（1）由分布函数的右连续性知：，所以；（2）；（3） 。4、设随机变量的分布函数为求：（1）系数； （2）； （3）的密度函数。解： (1) 由于在内连续， 又 故 (2) =(3) 的密度函数为 5、设连续性随机变量的分布函数为 ，求：(1)常数A，B； (2)； (3) 的密度函数。解：（1）由分布函数的右连续性及性质知：，所以；（2）； （3） 。6、设随机变量X的概率密度函数为 ，(1) 求常数A； (2) 求； (3) 求X的分布函数。解： (1) 所以 (2) （3

6、） 所以7、设连续型随机变量的密度函数为，求：系数； 的分布函数； 。解：（1）由，； （2）；（3）8、设随机变量的密度函数为 ，求：（1）常数； （2）； （3）的分布函数。解：（1）由，； （2）； （3）9、设随机变量的密度函数为 ，求（1）常数； （2）； （3）的分布函数。解：（1）由，； （2）；（3）四、变一般正态为标准正态分布求概率1、调查某地方考生的外语成绩X近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3% 。试求：（1）考生的外语成绩在60分至84分之间的概率； （2）该地外语考试的及格率；（3）若已知第三名的成绩是96分，求不及格的人数。（ ， ）解

7、：依题意，(1) (2) (3)设全班人数为n， 由(2) 知不及格率为0.1587， 则，则不及格人数为2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布，如果85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。解：依题意，85分以上学生为优秀，则所以优秀学生为2.28%。3、设某工程队完成某项工程所需时间X（天）近似服从。工程队上级规定：若工程在100天内完工，可获得奖金7万元；在100115天内完工可获得奖金3万元；超过115天完工，罚款4万元。求该工程队在完成此项工程时，所获奖金的分布律。（参考数据：）解：设所获奖金为Y万元，Y是X的函数，可取值为4，3，7 Y-43 7

8、P0.00130.49870.5000 所以，可获奖金Y 的分布律为 ： 4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高，问车门的高度应如何确定？（）解：设车门的高度为厘米，则， 所以。即车门的高度至少要厘米。5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高，问车门的高度应如何确定？() 解：设车门的高度为厘米，则， 所以。即车门的高度至少要厘米。6、某地区18岁的女青年的血压（以mm-Hg计）服从，在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求：（1）P (X105)；（2）P (100X 120)。（，）解：(2) 五、数学

9、期望、方差的题目1、 设随机变量的概率密度为：，求：解：所以 2、一工厂生产的某种设备的寿命(以年计) 服从指数分布,的密度函数为 工厂规定,出售的设备若售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费200元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解：设表示厂方出售一台设备净赢利,有 所以每台的净赢利的数学期望为元3、假设有10只同种电器元件，其中有两只废品，从这批元件中任取一只，如是废品则扔掉重取一只，如仍是废品则扔掉再取一只，求：在取到正品之前，已取出的废品数的期望和方差。解：设为取到正品之前已取出的废品数，则的分布为 故 4、一袋中有张卡片，分别记为，

10、从中有放回的抽取张来，以表示取出的张卡片的号码之和，求。解：设表示第次取出的号码，则的分布律为 ，所以，则5、已知随机变量的密度函数为，对独立观察3次，用表示观察值大于的次数。求：（1）的分布律； （2）的分布函数； （3）解：令（1）的分布律为：（2） ； （3） 6、某车间生产的圆盘直径在区间服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。解：设为圆的直径，为圆的面积，则 ，因为所以 的密度函数为 所以7、某厂生产一种化工产品，这种产品每月的市场需求量（吨）服从区间 0 ，5 上的均匀分布这种产品生产出来后，在市场上每售出1吨可获利6万元。如果产量大于需求量，则每多生产1吨要亏损4万元如果产量小于需

11、求量，则不亏损，但只有生产出来的那一部分产品能获利。问：为了使每月的平均利润达到最大，这种产品的月产量 应该定为多少吨？解：因为，的概率密度为 。 设为该厂每月获得的利润（单位：万元），根据题意 。该厂平均每月利润为： 。由 可解得 （吨）。可见，要使得每月的平均利润达到最大，月产量应定为吨。8、设随机变量的概率密度为 已知 求：（1）的值； （2）随机变量的数学期望。解：（1） ，解方程组 ；（2）9、设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里无故障，可获利润万元，发生一次故障可获利润万元，发生两次故障获利万元，发生三次或三次以上故障则亏损万元，求一周

12、内的利润期望。解：设一周5个工作日内发生故障的天数为，则，设为一周内获得的利润，则为离散型随机变量，其所有可能取值为（万元）其分布律为： 即可获利润T 的分布律为 ： T-2 0 510 P 0.057 0.205 0.410 0.328。六、点估计（矩估计和极大似然估计）的题目1、设总体概率密度为：，其中参数且未知，设为总体的一个样本, 是样本值，求的矩估计量和极大似然估计量。2、已知随机变量的密度函数为，其中为未知参数，求的矩估计量与极大似然估计量。3、设总体概率密度为，其中为未知参数，为总体的一个样本, 是样本值，求参数的矩估计量和极大似然估计量。X1234、设总体X具有分布律 ：其中为未知参数，已知取得了样本值。试求的矩估计值和极大似然估计值。5、设总体的密度函数为：，其中为未知参数, 是来自总体的样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量。6、设为总体的一个样本, 的密度函数（其中未知参数），是样本值，求参数的矩估计量和最大似然估计量。7、设为总体的一个样本, 的密度函数，其中未知参数，是样本值，求参数的矩估计量和最大似然估计量。8、已知随机变量的密度函数为 ，其中为未知参数，设为总体的一个样本, 是样本值，求参数的矩估计量和极大似然估计量七、区间估计1、为考察某大学成