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1、勾股定理逆定理及应用基础知识点知识点 1：互逆命题与互逆定理(1) 互逆命题：一般的如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命 题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题。(2) 互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称为原定理的逆定理，称 这两个定理为互逆定理。注意：(1)互逆命题是两个命题形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题。但是当原命题成 立时，它的逆命题不一定成立。(2)每一个定理都是一个命题，它有逆命题，当且仅当这个逆命题经过证明是正确的时候，即也是一个定理的 时候，才能称为原定理的逆定理。当这
2、个逆命题不成立的时候，原定理没有逆定理。知识点 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是a,b,c，并且满足a2 + b2二c2,那么这个三角形是直角三角形。注意：(1)勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平 方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。(2)在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。知识点 3：勾股数(1) 满足a2 + b2 = c2的三个正整数a,b,c就是一组勾股数(2) 任意两个整数m,n(m n 0)，m2 + n2,m2 -n2,2mn这三个数就是一组勾股数，可见勾股数
3、有无数组。(3) 常见的勾股数有3,4,5 6, 8，10 8, 15,17 7,24,25 5,12,13 9,12,15典型例题知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。例题 1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是()A 7,10,13B62,82,102C2006, r 20081 1 1345变式练习】1、以下列各组数作为三角形的三边，其够组成直角三角形的是()A6，7，8B5，6，7C4，5，6D5，12，13例题2：已知a、b、c是厶ABC的三边，且满足a2+b2+c2+50 =6a+8b+10c,试判断 ABC的形状.【变式练习】2、已知在 ABC中，AB： BC： CA
4、=1:3：、10,试判断AABC是否是直角三角形。例题3：判断：三边长分别为2n2 + 2n,2n +1,2n2 + 2n + 1(n 0)的三角形是否是直角三角形【变式练习】3、已知：如图，在厶ABC中，ZC=90, ZB=30, AB的垂直平分线交BC于D,垂足为E, BD=4cm.求AC的长.例题4：在正方形ABCD中，F是DC边中点，E是BC上的一点，且EC= 4BC。求证ZEFA=90。【变式练习】4、如图，在四边形ABCD中，ZA=90, AD=3, AB=4, CD=13, CB=12,求四边形ABCD的面积是多少。【变式练习】5、如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，
5、现将 DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，则EB：CE=.知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。例题5：如图在 ABC中，AB=5, AC=13, BC上的中线AD=6，求BC边的长。【变式练习】5、如图，等边 ABC内有一点P,若点P到顶点A B C的距离分别是3、4、5,求ZAPB的度数。【知识点三】勾股定理逆定理与折叠问题。例题6：如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使得B落在边AD上的B,点A落在A上。（1）求证：BE=BF（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想abc三者之间的关系并给予证明。25Tcm【变式练习】6、如图，矩形纸片ABCD中,AB=
6、8cm,把矩形纸片沿AC折叠，点B落在点E处,AE交DC于F,AF= 求 AD 的长是多少。知识点四】勾股定理逆定理在实际生活中的应用。例题7：某港口位于东西方向的海岸线上，A、B两军舰同时离开港口，各自沿-固定方向航行，A舰每小时航行16海里，B舰每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后，相距30海里，已知A舰沿东北方向航行，问B舰沿哪个方向航行？、一【变式练习】7 、甲乙两艘船同时离开海港，各自沿一固定方向航行。已知甲船每小时行12海里，乙船每小时行16海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，若已知甲船沿东北方向航行，试问乙船的航行方向可能是怎样？例题8：如图，在高为3m,斜坡长为
7、5m的楼梯上面铺地毯，则地毯长度至少要多少米？如果楼梯宽两米，每平方米地毯200元，试问这块地毯要多少钱？思维误区误区一、没有正确理解勾股定理逆定理。【例】判断以线段 a=0.6，b=1，c=0.8 为边组成的三角形是否是直角三角形。误区二、勾股定理与勾股定理逆定理运用混淆。【例】如图，在ABC中，AB=13cm, BC=10cm, BC边上的中线AD=12cm,试问AABC是等腰三角形吗？说明理由。方法规律勾股定理逆定理：关键要确定最长边勾股定理逆定理的应用：关键要能得到直角三角形基础巩固1. 在 ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15,则以两个这样的三角形所拼成的图形的面积是2.
8、已知三角形的三边长之比为1 ： 1 ：卞2，则此三角形一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（）A.仍是直角三角形 B.不可能是直角三角形C.是锐角三角形 D.是钝角三角形4. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A. 0B. 1 C. 2D. 3第45. 如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60时，其影长AC约为（1亍1.732，结果保留三个有效数字）（ ）A. 5.00米B. 8.66米C. 17.3米D. 5.77米6
9、. 如图，AABC 中，CD丄AB 于 D,若 AD=2BD，AC=6，BC=3，则 BD 的长为（）1A. 3B.C. 1D. 427、五根小木棒，其长度分别为 7， 15， 20， 24， 25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）15C8. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A.若a=b，则a2=b2B.全等三角形的周长相等C.若a=0，则ab=0D.有两边相等的三角形是等腰三角形9.列数组为三角形的边长：（1） 5，12， 13；（2） 10， 12， 13；（3） 7， 24， 25；（4） 6， 8， 10，其中能构成直角三角形的有（ ）A. 4 组 B. 3 组
10、C. 2 组D. 1 组10. 一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1. 5小时后，它们相距海里.11. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多lm，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是12、 已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为cm时，这三条线段能组成一个直角三角形.13、如图1,在四边形ABCD中，AD丄DC, AD = 8, DC=6, CB = 24, AB = 26.则四边形ABCD的面积为.m214如图3所示的一块地，已知AD = 4m
11、, CD = 3m, AD丄DC, AB=13m, BC=12m,则这块地的面积是15 如图 3, AD=7, AB = 25, BC=10, DC = 26, DB = 24，求四边形 ABCD 的面积.同步提高11如图，已知正方形ABCD的边长为4, E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=4AD，试判断的形状.A F D2.已知 ABC的三边分别为k2-1, 2k, k2+1 (k1),求证：AABC是直角三角形.3.已知：如图，在 ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=ADBD.求证：AABC是直角三角形.4如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E,交
12、BC于F,边AB折叠后 与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE： DM： EM=3： 4： 5。5如图所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE丄DF,若BE=12，CF=5.求线段EF的长6.如图所示，在RtAABC 中，ZBAC = 9，AC = AB,DAE = 45，且BD = 3, CE = 4,求de 的长中考体验1、以下各组数为边长的三角形中A1，2，3B2，3，4能组成直角三角形的是（ ）C3，4，5D4，5，62.如图，已知 ABC中，AB=5cm, BC=12cm, AC=13cm，那么AC边上的中线B
13、D的长为 cm3.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm.4.如图，已知等腰RtABC的直角边长为I,以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtAACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtAADE,，依次类推到第五个等腰RtAAFG,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为5.如图8,有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P 落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P： 否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.
