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1、导数的应用1设函数y二f (x)具有二阶导数，且f(x) 0, f(x) 0 , Ax为自变量X在点x处的增0量，Ay与dy分别为f (x)在点x处对应的增量与微分，若Ax 0，则(2006)0(A) 0 dy Ay.(B) 0 Ay dy .(C)Ay dy 0 .(D) dy Ay 02设函数/(x)在x = 0处连续,f (h 2)且lim= 1，则(2006)hT0 h 2(A) f (0 )= 0 且f(0)存在f (0 )=1且f (0 )存在(C) f (0)= 0且f (0)存在+(D) f (0)= 1 且厂(0 )存在+3设f (x, y)与申(x, y)均为可微函数，且申
2、(x y)丰0，已知(x , y )是f (x, y)在约束条件 y009 (x, y)二0下的一个极值点，下列选项正确的是(2006)(A) 若 f (x , y )二 0,则 f (x , y )二 0.x 00y 00(B) 若 f (x , y )二 0,则 f (x , y )丰 0.x00y00(C) 若 f (x , y )丰 0，则 f (x , y )二 0.x00y00(D) 若 f(x, y )丰 0，则 f (x , y )丰 0.x 00y 004设函数y = f (x)在区间-1,3上的图形为22工F(x)工23235设函数f (x), g (x)具有二阶导数，且g
3、(x) 0。若g (x )=a是g (x)的极值，则0f g(x)在x取极大值的一个充分条件是()(2010)0(A) f (a) 0(C) f (a) 06.设函数 f (x)具有二阶导数，g(x) = f (0)(1 - x) + f (1)x，则在0,1 上( ) (2014)(A)当 f(x) 0 时，f (x) g(x) (B)当 f *(x) 0 时，f (x) 0 时，f (x) g(x) (D)当 f x) 0 时，f (x) g(x)7设函数f (x)在(-8, +8)内连续，其2阶导函数f (x)的图形如右图所示,则曲线y = f (x) 的拐点个数为 ()(A) 0 (B
4、) 1(C) 2(D) 38.设函数y = f (X)在(一8, +8)内连续，其导数如图所示，则()(2016)(A) 函数有2个极值点，曲线y = f (x)有2个拐点(B) 函数有2个极值点，曲线y = f (X)有3个拐点(c)函数有3个极值点，曲线y = f ( x)有1个拐点(D)函数有3个极值点，曲线y = f (X)有2个拐点【答案】(B)证明不等式1.证明：当0 a a sin a + 2cos a + 兀 a .( 2006)+ cos X 1 +x2一1 X 0，使得f (a)= 1；1(2) 对(1)中的a，存在g w (0,a)，使得广(g )=.a6. (I)设函数
5、u(X), v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(X);(II)设函数 u(x), u(x),u(x)可导，f (x)二 u(x)u(x)u(x)，写出 f (x)的1 2 n 1 2 n求导公式.(2015)应用题1.在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M (1,0)，其上任意点P(x, y)(x丰0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax (常数a0 ).(I) 求L的方程；8仃I)当L与直线y = ax所围成平面图形的面积为3时，确定a的值.(2006)2.设函数y = y(x)由方程yIny 一x + y = 0确定，试判断曲线y = y
6、(x)在点(1，1)附近的凹凸性.( 2007)3设函数f (x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x e I,曲线y = f (x)在点0(x , f (x )处的切线与直线x = x及x轴所围成区域的面积恒为4,且f 0 2=，求f (x)表0 0 0达式.( 2015)4.设函数f 0=卩 t2 -x2dt (x 0)求 f(x)，并求f (x)的最小值。(2016)0经济问题1设某商品的需求函数为Q = 160-2p，其中Q，p分别表示需要量和价格，如果该商品 需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是()(2006)A. 10B. 20C.30D.402设某产品的需求函数为Q=Q(P
7、)，其对应价格P的弹性:=0.2，则当需求量为1000件时,价格增加1元会使产品收益增加元(2009)3.设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1 + P3，其中p为价格，且R(l)二1，则R(p)二.(2010)4. 某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产x甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y (件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+ 2 (万元/件)与6+y (万元/件).1)求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x, y)万元)2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3)求总产量为50件时且总成本最小
8、时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.(2012)5设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P二60 - 1000,(P 是单价，单位：元， Q 是销量，单位：件)，已知产销平衡，求：(1) 该的边际利润(2) 当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义(3) 使得利润最大的定价P. (2013)6设某商品的需求函数为Q = 40- 2p ( p为商品的价格)，则该商品的边际收益为.(2014)【详解】R(p) = pQ = 40p一2p2,边际收益p) = 40一4p .7为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格，MC
9、为边际成本，耳为需求弹性(n 0).(I)证明定价模型为p二岂C1 -(II)若该商品的成本函数为c(Q)二1600 + Q2，需求函数为Q = 40 P，试由(I)中的定价模型确定此商品的价格.(2015)8.设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数Q = Q( p)，需求弹性12仕(n0)，p为单价(万元)(2016)(1)求需求函数的表达式求p = 100万元时的边际收益，并说明其经济意义。解析】(1)由弹性的计算公式得P dQQ dp可知P dQQ dp-P120 p分离变量可知譽二dpp -120两边同时积分可得InQ = ln(p 120) + C解得 Q = C (p 120)由最大需求量为 1200 可知Q(0) = 1200，解得 C = 10故 Q = 10( p 120) = 1200 10p(2)收益 R = Qp = (120010P) PdR dR dp边际收益： 一=-=(120020p)(10) = 200p 12000 dQ dp dQdR已知石=8000dQp=100经济学意义是需求量每提高1件，收益增加8000万元.
