排列组合等计数题型的解题技巧

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1、六年级奥数讲义排列组合等计数题型的解题技巧教学目标1. 使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2. 了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3. 掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4. 会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能 力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并 掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。5. 根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。知识点拨：一、排列一般地，从n个不同的元素中取出m (mn)个元素，按照一

2、定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如 果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排 列顺序不同，它们也是不同的排列排列的基本问题是计算排列的总个数从n个不同的元素中取出m (m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出 m个元素的排列数，我们把它记做Pm .n根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1 :从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2 :从剩下的(n-1)个元素中任取一

3、个元素排在第二位，有(n-1)种方法；步骤m :从剩下的n (m 1)个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n (m 1) = n m +1 (种) 方法；由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n(n 1)-(n 2) (n m +1)，即Pm =n(n -1)( n - 2)(n - m +1)，这里，m n，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，n共有 m 个因数相乘。二、组合一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合.从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关.如

4、果两个组合中的元素 完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不 同的组合.从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元 素的组合数.记作Cm。n一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pn可分成以下两步：m第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cm种方法；六年级奥数讲义第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pm种排法.根据乘法原理，得到Pm = Cm - Pm .nnmmPm n ( n - )( n - 2) ( n - m +1 因此，组合数Cm=n Pmm (m-)

5、(m-2) 3 2I这个公式就是组合数公式.m例题精讲：一、 排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。【解析】（1） P7 = 5040 （种）。7（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置.P6 = 720 （种）6（3）先确定中间的位置

6、站谁，冉排剩下的6个位置.2X P6 =1440（种）.6（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置.2xP5 = 240 （种）.5（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，P2 x P5 = 2400 （种）55（6）七个人排成一排时， 7 个位置就是各不相同的.现在排成两排，不管前后排各有几个人， 7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列.P7 = 5040 （种）7（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可.4X3X P5 X

7、2=2880（种）.排队问题，一般 5先考虑特殊情况再去全排列。【例 2】 用 1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知n = 5，m = 2，根据排列 数公式，一共可以组成P2 = 5x4 = 20 （个）符合题意的三位数。5【巩固】 用 1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？ 【解析】可以分两类来看： 把3 排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题， 有P4 = 4x3x2x 1 = 24 （种）放法，对应

8、24个不同的五位数；4 把2， 4， 5 放在最高位上，有3 种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3 之外的 3 个数 字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有P3 =6种选择.由 3乘法原理，可以组成3x3x6 = 54 （个）不同的五位数。由加法原理，可以组成24 + 54 = 78 （个）不同的五位数。【巩固】 用 0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687六年级奥数讲义是第几个数？解析】从高位到低位逐层分类： 千位上排1 ， 2 ， 3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0 9 中除千位已确定的 数字之外

9、的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、 十、个位可有P3 = 9X8X7 = 504 （种）排列方式.由乘法原理，有4X504 = 2016 （个）.9 千位上排5，百位上排04时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八 个数字中选择.也就是从8个元素中取2个的排列问题，即P2 = 8x7 = 56，由乘法原理，有 81x 5 x 56 = 280 （个）. 千位上排5，百位上排6，十位上排0， 1， 2， 3， 4， 7时，个位也从剩下的七个数字中选 择，有 1x 1x 6 x 7 = 42 （个）. 千位上排5，百位上排6，十位上排8

10、时，比5687小的数的个位可以选择0， 1， 2， 3， 4共 5个综上所述，比5687小的四位数有2016 + 280 + 42 + 5 = 2343 （个），故比5687小是第2344个四位数.例 3】 用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？ 解析】按位数来分类考虑： 一位数只有1个3；两位数：由1与2，1与5，2与4 ， 4与5四组数字组成，每一组可以组成P2 = 2x 1 = 2 （个）2 不同的两位数，共可组成2x4 = 8 （个）不同的两位数； 三位数：由1， 2与3；1， 3与5；2， 3与4；3， 4与5四组数字组成，每一组可以组成 P3 =

11、 3x 2x 1 = 6 （个）不同的三位数，共可组成6x 4 = 24 （个）不同的三位数；3 四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有P4 = 4x3x2x 1 = 24 （个）不同的四位数；4五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有P5 = 5x4x3x2x 1 = 120 （个）不同的五位数.5由加法原理，一共有1 + 8 + 24 + 24 +120 = 177 （个）能被3整除的数，即3的倍数.巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的 偶数？解析】由于组成偶数，个位上的数应从2， 4， 6中选一张，有3种选法；十位和百位上

12、的数可以从剩下 的5张中选二张，有P2 = 5x4 = 20 （种）选法.由乘法原理，一共可以组成3x20 = 60 （个）不同的5偶数.例 4】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9 ， 那么确保打开保险柜至少要试几次？解析】四个非0数码之和等于9的组合有 1， 1， 1， 6； 1， 1， 2， 5； 1， 1， 3， 4； 1， 2， 2， 4； 1， 2， 3， 3； 2， 2， 2， 3 六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了， 6可以任意选择4个位置中的 一个，其余位置放1，共有 4种选择； 第二种中，先考虑放

13、2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有 4x3 = 12 （种）选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择.最后一种，与第一种 的情形相似， 3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择.综上所述，由加法原理，一共可以组成4 +12 +12 +12 +12 + 4 = 56 （个）不同的四位数，即确保能 打开保险柜至少要试56 次.例 5】 两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，（同一位置上 坐不同的人算不同的坐法），那么共有多少种不同的坐法？【解析】第一个位置在6个人中任选一个，有C1 = 6 （种）选法，第二个位

14、置在另一胞胎的3人中任选一个，6六年级奥数讲义有C1 = 3 （种）选法.同理，第3 , 4 , 5 , 6个位置依次有2 , 2 , 1, 1种选法.由乘法原理，不 3同的坐法有 Pi x Pi x Pi x Pi x Pi x Pi = 6 x 3 x 2 x 2 x 1x 1 = 72 （种）。632211例 6】【解析】设A:BCDE是满足题意的时刻,一种电子表在6时 24分 30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5 个数字都不相同的时刻一共有多少个?有 A 为 8， B、D 应从 0， 1， 2， 3， 4， 5 这 6 个数字中选择两个不同的数字，所以有

15、P2种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有P267 种选法，所以共有P2 X P2 =1260种选法。67 从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。例 7】 一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数？【解析】设这个六位数为abcdef，则有（a + c + e）、（b + d + f）的差为0或11的倍数.且a、b、c、d、 e、f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数。先考虑a、c、e偶数位内，b、d、/奇数位内的组内交换，有P； X P3 =36种顺序；再考虑形如badcfe这种奇数位与偶数位的组间调换，也有P3 X P3 =36种顺序。33所以，用均不为0的a.b.c.d.e.f最少可排出36+36=72个能被11整除的数（包含原来的abcdef ）。 所以最少还能排出 72-1=71个能被11整除的六位数。例 8】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，