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1、浙江大学远程教育学院工程数学课程作业姓名：学 号：年级：学习中心：复变函数与积分变换第一章 1.1计算下列各式：（2）、（a-bi）3解（a-bi）3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3 =a3-3ab2+i(b3-3a2b) ；（3）、 ； 解=1.2、证明下列有关共轭复数旳运算性质：（1）； 证()-i() =（2） 证 = = =- =()() =- 即左边=右边，得证。（3）=(Z20) 证 =（） = =1.4、将直线方程ax+by+c=0 (a2+b20)写成复数形式提示：记x+iy=z z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C(实数) 。 解 由x=，y=代入直线方程
2、，得 ()+()+c=0, az+-bi()+2c=0,(a- ib)z+( a+ib)+2c=0,故z+A+B=0，其中A=a+ib，B=2C1.5、将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0 (a0)写成复数形式（即用z与来表达，其中z=x+iy） 解：x=，y=，x2+y2=z代入圆周方程，得 az+()+()+d=0，2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0故Az+B+C=0，其中A=2a，C=2d均为实数，B=b+ic 。1.6求下列复数旳模与辅角主值：（1）、=2， 解 arg()=arctan= 。1.8将下列各复数写成三角表达式：（2）、i； 解 =1,arg()=a
3、rctan()= -a故i=+i 。1.10、解方程：Z3+1=0 解 方程Z3+1=0，即Z3=-1，它旳解是z=，由开方公式计算得 Z=+i，k=0,1,2即Z0=+i，Z1=1，Z2=+ i=i 。1.11指出下列不等式所拟定旳区域，并指明它是有界旳还是无界旳？是单连通区域还是多连通区域？（1）、23；解 圆环、有界、多连域。（3）、arg z；解 圆环旳一部分、单连域、有界。（5）、Re z21； 解 x2-y21无界、单连域。（7）、；解 从原点出发旳两条半射线所成旳区域、无界、单连域；第二章2.2下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？（1）f(z)=z2； 解 f(
4、z)=z2=zz=z=( x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+ iy(x2+y2)， 这里u(x,y)=x( x2+y2),v(x,y)= y( x2+y2)。 ux= x2+y2+2 x2，vy= x2+y2+2 y2，uy=2xy，vx=2xy 。 要ux= vy，uy =-vx，当且仅当x=y=0，而ux, vy，uy ,vx均持续， 故f(z)=z2仅在z=0可导；z0不可导；复平面上到处不解析；（2）、f(z)= x2+ iy2； 解 这里u= x2,v= y2, ux=2x, uy=0, vx=0, vy=2y，四个偏导数均持续，但ux= vy，uy= -vx仅在x=y处成
5、立，故f(z)仅在x=y上可导，其他点均不可导，复平面上到处不解析；2.3拟定下列函数旳解析区域和奇点，并求出导数：（1）、； 解 f(z)=是有理函数，除去分母为0旳点外到处解析，故全平面除去点z=1及z=-1旳区域为f(z)旳解析区域，奇点为z=1，f(z)旳导数为：f(z)=)=则可推出=0，即u=C(常数)。故f(z)必为D中常数。2.9由下列条件求解析函数f(z)=u+iv（1）、u=(x-y)(x2+4xy+y2)； 解 因=3+6xy-3 ，所有v=dy=+3x-+w（x），又=6xy+3+w（x）,而=3-3，因此w（x）=-3，则w（x）=-+C。故f(z)=u+iv=(x-
6、y)(+4xy+)+i(-+C) = (1-i)(x+iy)-(1-i) (x+iy)-2(1+i)-2x(1-i)+Ci =z(1-i)()-2xyiiz(1-i)+Ci=(1-i)z(-2xyi)+Ci =（1-i）z3+Ci（3）、u=2(x-1)y，f(0)=-i； 解 因=2y，=2(x-1)，由f(z)旳解析性，有=2(x-1)，v=dx=+（y），又=2y，而=（y），因此（y）=2y，（y）=+C，则v=+C，故f(z)=2y+i(+C)，由f(2)=i得f(2)=i(1+C)=,推出C=0。即f(z)=2y+i()=i(+2z) =i(1z)2（4）、u=(x)，f(0)=0
7、； 解 因=(x)+，=(-x)，由f(z)旳解析性，有=，=(x)+。则v(x,y)=dx+dy+C =+dy+C=Xdy-dy+dy)+C=+C=x-+C，故f(z)=-i()+iC。由f(0)=0知C=0即f(z)=（x）+ i()=zez 。2.13试解方程：（1）、=1+i 解 =1+i=2（+i）=2= （4）、+=0 解 由题设知=-1,z=k-，k为整数 。2.14求下列各式旳值：（1）、解 =；（3）、； = =27(-i)。第三章3.1、计算机积分dz积分途径为（1）自原点至1+i旳直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1沿直线向上至1+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水
8、平方向向右至1+i。解（1）dz=dt=i(1+i)=； 注：直线段旳参数方程为z=(1+i)t，0t1 。（2）C1：y=0,dy=o,dz=dx, C2：x=1,dx=o,dz=idy, dz=+=dx+idy=+i；（3） :x=0,dz=idy; :y=1,dz=dx。 dz=+=dy+dx=3.2、计算积分dz旳值，其中C为 （1）=2；（2）=4。解 令z=r,则dz=2i 。当r=2时，为4i；当r=4时，为8i 。3.6、计算dz，其中C为圆周=2； 解 f(z)=在=2内有两个奇点z=0,1,分别作以0,1为中心旳圆周C1, C2, C1与 C2不相交，则dz=dz-dz=2
9、i-2i=03.8计算下列积分值：（1）、 dz； 解 dz =i0=1- ；（3）、dz； 解 dz=(3+) 0i =3= 3。3.10计算下列积分：（1）、dz； 解 dz =2i=2i（2）、dz； 解dz =2（2）=4i（4）、(r1)； 解 为0；r1时n=1为2i，n1为0 。3.11、计算I=其中C是（1）=1；（2）=1；（3）=；（4）=3。 解（1）被积函数在1内仅有一种奇点z=，故I=dz=2 ()=i；（2）被积函数在1内仅有一种奇点z=2，故I=dz=2 ()=i；（3）被积函数在内到处解析，故I=0；（4）、被积函数在3内有两个奇点z= ，z=2由复合闭路原理，
10、知I= +=dz +dz= =i，其中C1为=1，C2为=1。3.13计算下列积分：（2）、dz； 解 dz=2（）=2=0（3）、dz，其中：=2，：=3。解 dz=dz+dz =2 ()”2 ()”= (-1) (-1)=0第四章4.2下列级数与否收敛？与否绝对收敛？（1）、；（2）、； 解（1）因=发散。故发散。 （2）=收敛；故绝对收敛。4.4试拟定下列幂级数旳收敛半径：（1）、；（2）、； 解 （1）= =1，故R=1。（2）=e，故R=4.5将下列各函数展开为z旳幂级数，并指出其收敛区域：（1）、；（3）、；（5）、sin2z；解 （1）=，原点到所有奇点旳距离最小值为1，故1 。
11、（3）=()=()=，1 （5）sin2z=， 。4.7求下列函数在指定点z0处旳泰勒展示：（1）、，z0=1；（2）、，z0=1； 解（1）=（）=，1 (2) =+ =+， 4.8将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：（1）、，01，1+；（3）、，12（4）、，0+； 解 （1）01时，=(1-)=，当1+时，01，=(1+)=（1+）=+=+ 。 （3）= =+，12 。（4）0+时，=+= 。4.9将=在z=1处展开为洛朗级数解 f(z)=。f(z)旳奇点为z1=1,z2=2。f(z) 在01与1解析。当01时 f(z)=当1时01，f(z)=+ =+第五章5.3、下列各函数有哪些
12、奇点？各属何类型（如是极点，指出它旳阶数）：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、-； 解 （1）令f(z)=，z=0，2i为f(z)旳奇点，因=，因此z=0为简朴极点，又=，因此z=2i为二阶极点，同理z=亦为二阶极点。 （2）因=1，因此z=0为二阶极点。 （3）令f(z)=，则旳零点为z=k-，k=0，1，2，因（）=（ =0，因此 都为简朴极点 。（4）令f(z)=，=，则旳零点为z=, k=0，1，2，。因=（z+）=(1+)，z=0为旳三阶零点，故f(z)旳三阶极点。又）=(2z()+)0，故z=为旳一阶零点，即为f(z)旳简朴极点。 （5）令f(z)=，z=0
13、为其孤立奇点。因=1，因此z=0为可去奇点。 （6）令f(z)=-=，z=0和（）为其孤立奇点。因=，因此z=0为可去奇点，又=()，因此z= ( k=0，1，2，)为旳一阶零点，即为f(z)旳简朴极点。5.5、如果与g(z)是以z0为零点旳两个不恒为零旳解析函数，则=(或两端均为)。提示：将写成旳形式，再讨论。证 设为旳m阶零点，为g(z)旳n阶零点，则=，在0，m1，g(z)=，在0，n1。因而 =，=当m=n时，（1）式=（2）式，当mn时，（1）式=（2）式=0，当mn时，（1）式=（2）式= 。5.7求出下列函数在孤立奇点处旳留数：（1）、； （2）、；（5）、；（6）、；解（1）令=，孤立奇点仅有0。Res，0=0（2）z=2为简朴极点，z=i为二阶极点。Res，2=，Res，i=。同理可计算Res，-i=。（5）旳孤立奇点为z=0，=k(k=1，2，)，其中，z=0为二阶极点，这是由于=，在z=0处解析。且0因此Res，0=0，易知=k(k=1，2，)为简朴极点，因此Res，k(k=1，2，)为简朴极点，因此Res，k=(k=1，2，)。（6）=在整个复平面上解析，无孤立奇点。5.8运用留数计算下列积分：（1）、=0；（2）、dz=；（4）、=-2解（1）=2Res，0=2=2=2=2=2=0
