《变量代换的应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《变量代换的应用.doc（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 变量代换的类型变量代换法是指用另一些新的变量来代换某些变量的解析表达式,从而使原有的问题转化为较简单的,易解决的问题的方法,这种方法也称为换元法.在学习数学的过程中,变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法.恰当地运用变量代换的观点方法,常常能起到化难为易、化繁为简的作用变量代换有多种类型,它在解决数学问题中发挥着不可或缺的作用.我们只有掌握了变量代换的不同类型,才能在解决问题时更加得心应手. 本节先给出积分运算中几种常见的变量代换,然后给出公式变形和函数解析式中的变量代换. 1.1 算式代换算式代换是指积分表达式中含有的代换.例1 求定积分.解 令,则.当时,;当时
2、,.所以有.1.2 根式代换根式变换是指积分表达式中含有无理根式的代换.例2 求定积分.解 令,则当时,;当时,.则 .1.3 倒代换倒代换是指积分表达式中分母的两个自变量的幂之差大于1的代换.例3 求不定积分.解 令,则 .1.4 三角代换三角代换是指积分表达式中含有,等形式的代换.例4 求.解 令,则当时,;当时,.所以.1.5 指数代换指数代换是指积分表达式中含有的代换.例5 求不定积分.解 令,则有.1.6 公式变形中的变量代换在解题时,我们常对一些形式的式子感到很难理解,但只要仔细分析,我们会发现它可能就是一些公式的变形形式.因此,我们在认识公式时,可适当利用变量代换法来认识其变形形
3、式例如 设,则,于是有同样,利用变量代换方法也可来理解其他的三角函数的公式.又例如 .设,当时,于是有, 即 .如果设,则.同理,则,即.通过对公式进行变量代换,我们不仅可以加深对公式的理解,还可以看到一些我们解题时有用的式子例如 .1.7 函数解析式中的变量代换 例6 已知,求.解 由于题中函数表达式不是我们习惯的形式,可先把函数表达式化为我们习惯的形式,根据题意,不妨设,则.从而有.例7 已知,求表达式.解 令 ,则有.因此有,得的表达式.2 变量代换在数学中的应用2.1变量代换在条件极值中的应用条件极值是高等数学中的一项重要内容,而变量代换法是求极值和最值的方法之一,他可以是问题简化.下
4、面我们来对变量代换在极值和最值方面的应用加以探讨.设定 为实函数, ,且,. 文献3引论1 对于设定,若函数组均在S上连续,则由函数组确定的SD的映射F在S上也连续 引论2 设,是度量空间,映射,那么在上连续的充要条件是像空间中的任一开集的原像是X中的开集 引论3 设X是度量空间,B为开集,则A为X的开集的充要条件是A是相对于B的开集 结论1 设S,D均为开集,函数组在S上均连续, ,若是的极大(小)值点,则为的极大(小)值点证 设由函数组确定的SD的映射为 F,因为均在S上连续,所以F也在S上连续(引论1)因为为D中极大值点,所以总存在点的某一邻域 ,使时,因为D为开集,所以是相对于D的开集
5、(引论3),又因为F连续,所以是相对于S的开集(引论2),而S为开集,所以也为的开集(引论3)又因为,则为点的一个邻域对于,则有,所以有. 同理可证极小值的情况. 结论2 在结论1中,若由函数组确定的SD的映射F为一一对应,且F的逆映射连续(即 F是SD的同胚映射),则是的极大(小)值点的充要条件是为的极大(小)值点.证 必要性可由结论1得证,充分性仅对极大值点的情形予以证明.设是的极大值点,则存在的一个邻域,使 ,.由F是SD的同胚映射及引论3可知,的一个邻域设 ,存在,使得,对给定的,是唯一存在的,则当时, ,因此有.在结论2中,把“极大(小)值点”都改为“严格极大(小)值点”,结论仍成立
6、 结论3 设,则是的最大(小)值点的充要条件是是的最大(小)值点.(证明略) 结论4 设,则为在约束条件下的最大(小)值点的充要条件是为在约束条件下的最大(小)值点.(证明略) 例1 讨论函数在 D上的极值与最值, 约束条件为.解 设 由(2-1),(2-2)确定的映射F：SD是同胚映射,所以原问题可化为函数在S上满足约束条件下的极值与最值问题,即化为函数在区间内的无条件极值与最值问题.设,令 . (2-3)显然由(2-3)确定的映射是同胚映射这时在内有唯一驻点,且是极小值点,从而也是最小值点又因为驻点唯一,所以函数没有极大值与最大值当t = 1时,得；再由及0 r 1得 . (2-4) 由以
7、上结论可知(2-4)为函数的极小值点与最小值点,函数无极大值与最大值 例2 设为圆上的任意一点,求函数的极大值. 这是一个在约束条件下求的极值问题,数学分析中传统求法是拉格朗日乘数法本节将利用变量代换方法来解决. 解 由是上的点,得. 将中的以替代得到.因此可以看做圆上任一点与连线的斜率,本题的条件极值就转化为这种连线斜率的最大值问题.显然这连线斜率应为从点到圆所做切线的斜率.不难看出,该切线的方程为:,斜率K=,因此的极大值为. 例3 设,求的最值. 解 设,则, 所以.因此当时,取最小值;当时,的最大值.即满足的的最大值、最小值分别为6和2. 很显然,例3可以改写为 例 设,求证: .此时
8、问题就变成不等式的证明问题,因此变量代换也可以作为不等式证明的一个非常有效的方法.2.2 变量代换在不等式中的应用 变量代换法是一种非常有效的解题方法,尤其是处理一些复杂的不等式问题,效果明显合理代换往往能简化题目的信息,凸显隐含条件,沟通量与量之间的关系,对发现解题思想,优化解题过程有着重要的作用 例1 设、均为正数,求的最小值解 本题涉及的三个变量、不具有对称性,且三个分式的分母都是多项式,如果通分,则运算量较大因此,我们可考虑把各分母用其他变量代换,看看结果如何 令 , 则有,所以有 =.当且仅当且,即时,上式取等号所以当时,.例2 设、是三个互不相等的正数证明: .解 设 ,则有.因为
9、 ,所以,即.说明: 本题通过局部代换,发现了隐含条件,从而应用重要不等式使问题得到解决例3 设,求证:解 令 ,则有 . (2-5)因为 ,所以 .上面最后一个不等式显然成立,从而不等式(2-5)成立,故原不等式成立 2.3 变量代换在极限运算中的应用 (1) 利用变量代换得到第一个重要极限的其它变形 例如 令,且,则有 (2) 利用变量代换得到第二重要极限的变形,其中 (3) 无理根式形式的极限问题 例如 求.可作变量代换：(也可利用有理化法求得极限) (4) 幂指函数求极限 例如 (5) 二元及多元函数求极限可作变量代换,转化为一元函数求出极限 例如 求.可令,则原式= (利用无穷小量的
10、运算法则). (6) 其他类型有些函数求极限不能直接运用求极限的运算法则,可依题意作适当变换,转化为熟悉的形式求出极限例4 求.解 作变量代换,令,则有=.2.4 变量代换在导数运算中的应用 (1) 一元或多元复合函数求导 例1 设,且具有连续偏导,求.解 令 ,则有.由复合函数的链式求导法则得. (2) 隐函数求导例2 设由方程确定了一个函数,求.解 将看作关于的函数.方程两边同时对求导得,整理得. (3) 变限函数求导 例3 设,求.解 令 ,则函数变量之间的关系为,由一元函数的求导法则可得 (4) 利用函数导数求单调性、极值例4 已知函数,求函数单调区间解 函数看作由,两个函数复合而成的
11、而函数是一个单调上升函数,将问题转化为求函数单调区间2.5 变量代换在解微分方程中的应用 在常微分方程中,许多类型的常微分方程求解是依靠变量代换这一重要方法来完成的,下面我们就针对变量代换在几类微分方程中的应用进行探究. 2.5.1 变量代换在解一阶显式微分方程中的应用 一阶显不微分方程如果能化成可分离变量方程求解,问题就解决了,很多类型的一阶微分方程通过适当的变量代换化为可分离变量方程. (1) 齐次方程.通过变量代换化为以为未知函数的可分离变量方程. (2) 准齐次方程.其中为常数. (i) 构成的方程组的解为,则同时作函数与自变量的代换,将其化为以为函数,以为自变量的齐次方程,然后再将齐
12、次方程化为可分离变量方程,达到求解齐次方程的目的. (ii) 不妨设,此时方程的形状为.作变换,则可得分离变量方程.从而可以求其通解. (3) 形如 的方程(其中a是已知实数).作变量代换,将方程化为分离变量方程,将代入方程,整理后可得.这已是分离变量方程. (4) 一阶线性方程,其中为已知函数. 该方程所对应的齐次方程的通解为.作代换,以此作为原方程的解,代人原方程中得.从而解出,进而完成原方程求解. (5) 伯努力方程,其中.作代换 ,将方程化为以z为未知函数的线性微分方程.然后再按线性微分方程作代换求解. (6) 黎卡提方程.若已知它的一个解为.则作代换,代入原方程化为以为未知函数的伯努力方程. 对黎卡提方程,其中,都是常数,且,则当时,可经过适当的变量代换化为可分离变量方程. (7) 其它形式的一阶方程 对其它形式的某些一阶微分方程,可以根据方程自身的特点,选取灵活的代换方法,将其化为可分离变量方程. 例如 对方程,令 ;对方程,令 ;对方程,令 . 2.5.2 变量代换在解某些类型高阶微分方程中的应用 在求解某些类
