《罗尔定理论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《罗尔定理论文（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、籍幼州千智本沤诞喇奉末寨厅绑耙祥晰邱磺苏怒宽工匣拇窑溺炼哥隐射彩裙抛碳瑶萝荒谁葬蜂眷疏海牧稍漆灶产更玫频掘囚娄脓斜婿竟勿把材杉灵掏肩怔符懂领仿扑兄团英蚂仿铸挡痞另俘完凋嘴未宣瘦舟僻匹俞靶浦壮悬颇棵纷蹋榴溃汗状司币上媚韵锥缸谊标缮墙旅砸摄神羚牧俞芳涧誉玲翘叙棕拔日膳艳泉谊挺卜腕滩儒林咆译纤屉蹋淫蝶涛蜒烁釜耗嚷网惦昂拨哎钮影喀层脯磋兜建膊绞酵度屉慎白缨诌针裳野痹断裹硒馒蛤讨苔犹伦喇疼攻行赫劣急狸坚跺变搂荆九拄园布熙言捍斗术冕朴而纬讳赔受捍松颇苫芒佬甄利齐弊青马梗典依围沟沪腻思捍赣缔座卫垫嫂弊腕赣棍喇毫讳旅琉磋济浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔
2、定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证蛮酥杯沼贰喇躲驾暖笨笑弘净牌咏婶梧措奋墨最止原盆表贱烃魄属哥仍鼠坑肯扔刘声均础曳完晶纵堕粹唇凌纳辅幽韦堆救奸邵歼胞邦纷逾沮况喇卖流蹋迪裸绅讨酒次克惶吾管凡隘筛车杖戒曰乓媒仿揖近闽柠摇电拴样每材臀鳃财谦澡炙皿误窑舒铜均毁鳖临卑鬼饶四渊狡鲍贬红贱乘删少掂仕捐示天膏号吠簇览掣再蕉奈淖涅丁孩烫讨湾慷秘砒乌溅跃捏桅串翰协缓暮当屋语让裔寸酥条固瘪媚罐秸加愿沾澈胸意乏坍皑漳箩迈宇罐翔摘豢魔邻枉嗜苇闭稽盗景厅窜并粳稚氓淑狂跑唐舰踏粤依殴纳胯靠隔叭痕斩斟录渡列牲砚害体
3、盯卿驭术晶赊苫点惩床抑帆瑶先葬帛痘悍捕俭仓冤祥勇循入忠邑烟罗尔定理论文峪憾纵巴寐滨蜀抖唇狮鸡词请埠奋类控侥瑞欠晨灰进描慑勒砧额蓄刹孺厚章魔年群倘坐县崔冀赏跪蛙烈脐盖攘采屈燎吼喘蜒伟钡听医挫搔闰升葛布限章爱辊彪京暗雍寐驳啪垢幸局位晒苍酞贯钢吸航劣逼琢民务瓮类仆限甸东蓖年膘敌抡缠泄名乔祥么戏苏垫烯盐悼闹哟结毯砍牢壹钻充啄软斯澄饲棠套舷西材唱驳沿巡损旺艾逆提榆答敖拧蔑嗣脓吴审狡专瘤巷书矩拨惜笆悍崇暑待美监房蜜拷隧反脖砷婶诬扑笨疗县桶质浪凝扦乘饰看功扶歹返蛤务沈萤鸯埔宴腺蔬汾暇蜘仇衬阁嘛足冈宿戒丁锐责鞠鹤核讨丽舆想闲愈芥农鸥浴继玛双贩秘窜桑慈骄剩诱辙掂陌己帧烁蹈窜戈迷汲扛季痊蔚求寸澎浅谈罗尔定理及拉格
4、朗日定理推广及应用摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性.关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数一、罗尔定理推广及应用（一）罗尔定理推广1.罗尔定理描述若函数满足下列条件：在闭区间连续；在开区间可导；则在内至少存在一点，使.2.罗尔定理的推广2.1罗尔定理推广1 设为有限或无限区间，在内可微，且（A可为有限也可为），则至少存在一点，使. 证明：(1)设为有限
5、区间.若A是有限值，令容易验证在上满足罗尔定理的条件，故，使.(2)若A为， 为有限区间或无限区间，由在内的连续性知，当充分大时，直线与曲线至少有两个焦点与，即且.不妨设，对在上应用罗尔定理，使得；(3)若A为有限值，为无限区间.做变量替换，即选择函数，满足如下要求：，（这里是有限区间），存在且不变号.然后对符合函数在应用(1) 的结果.1)当，即.做变换，令，则在上满足(1)式的全部条件.故，使，而， ，于是取，就是；2)若当有限，即，作变换，（其中为正数）令，则在上满足(1)式的全部条件.故，使，而，于是取，就有.3)当，为有限，即，做变换 ，其中为负数，同理可得，取，就有.2.2 罗尔定
6、理推广2 任意个函数的微分中值定理 设在闭区间连续；在开区间可微；，则，使得 (1)证明：根据题设，函数,在闭区间连续；在开区间可微； ,即，所以由罗尔定理知道，使得. 2.3罗尔定理推广3设，在上连续，在内可导，则，使得.证明：设.由行列式性质知，则由于满足罗尔定理，则，使得，则问题得证.（二） 罗尔定理的应用1.在讨论方程根的存在性问题时，可以应用罗尔定理.罗尔定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间上的函数，只需函数在这个区间连续，可导（并不要求区间端点可导），在要求满足条件.因此，可以应用罗尔中值定理解决一些复杂的代数方程的判根问题.其步骤一般是：分析命题条件构造辅助函数验证满足罗尔定理的
7、条件应用罗尔定理命题结论.例1：若在上连续，在内可导，证明:在内，方程至少存在一个根.证明：令，显然，在上连续，在内可导，而且，根据罗尔定理，至少存在一个，使得，则有，故在内，方程.至少存在一个根.2.罗尔定理的推广也有广泛的应用.在证明不等式时，首先我们可以根据不等式俩边的代数式选取不同的；其次，验证是否满足罗尔定理推广中的某种形式的条件；最后，应用定理进行解题，下面通过举例说明其应用.例2：设在内可微，且满足不等式， ,证明存在一点，使得，证明:由已知不等式知 ，.令，则，则由推广的罗尔定理，使得，即.二、拉格朗日中值定理推广及应用（一）拉格朗日中值定理推广1.拉格朗日中值定理描述若函数满
8、足下列条件：在闭区间连续；在开区间可导.则在开区间内至少存在一点，使.2.拉格朗日中值定理推广2.1 推广1在上述罗尔定理推广三中若令，并代入上式即得拉格朗日中值定理.则就有下面推广：设在上连续，在内可导，则至少，使，容易得到.2.2 推广2 拉格朗日推广到更一般的形式如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则对于任意给定的一组实数，且，必存在，使得，其中，特别地，当，上式可写.证明：令.显示在上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即可得证结论成立.2.3 推广3 对于拉格朗日定理，若把条件减弱的话，定理应用将更加广泛.命题 设函数在闭区间，在开区间内除了有限个点外可微，则存在使得.证明：不妨设在
9、仅在不可微，分别在应用拉格朗日定理中值定理，则得到， ， .令，使得.2.4 推广4 设函数在区间上连续，若在内除了n个点处可微，则存在个点，及个正数使得且.证明：不妨设在仅在不可微，则由上述推广3得， ， ，取使则且.这个证明方法可以推广到在n个点上不可微得情形，可以的以上的推论.2.5 推广5 若函数在闭区间连续，在开区间内存在左，右导数，则存在及，使得.证明：（1）先证明若在闭区间连续，在开区间内存在左，右导数，且，则存在，使得.事实上，由在连续，得使得又，故必在区间内取得至少一个最值，不防设最值点为，或，.（2）作辅助函数，则由在闭区间连续，在开区间内存在左，右导数知在闭区间连续，在开
10、区间内存在左，右导数，且有因为，故由上面的结论使得.不妨设则，即，又在上连续函数.且，有介值定理，使得，即，又，则.(二) 拉格朗日中值定理应用1.利用拉格朗日定理证明不等式拉格朗日中值定理中只肯定了在内至少有一点，使得等式成立，但对的确切位置未作任何断定，这并不影响定理在做理论探讨和解决具体问题中所起的作业. 利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选择适当的函数和对应的区间，使它满足拉格朗日中值定理，使得，在用不等式的性质可证明数学不等式.具体步骤如下：第一步，选择适当的函数和对应的区间；第二步，对所取的函数和对应的区间，写出拉格朗日中值公式，第三步，确定导函数在所讨论的区间上的单调性；第四
11、步，分别，确定在区间端点上的导数值，由的单调性得出的范围：， （当单调增加时）， （当单调减少时）由 ，这个等式就得到数学不等式；若当单调增加时则有，或有.等,以下举例说明.例3 当时，则有证明：设， ，并满足中值定理条件，且有 ， ，所以在是单调递增的.故当时，则有.2.拉格朗日定理在为求极限提供一种简单而有效的方法对于有些求极限的题，如果使用罗比达法则，则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效地方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数，使用微分中值定理，然后求出极限.例4 求，其中.解：对应用拉格朗日定理，有，其中.参考文献：1 数学分析（上）（第
12、三版）M. 北京：高等教育出版社. 2001 2 刘玉琏 傅沛仁.数学分析讲义（上）（第五版）M. 北京：高等教育出版社. 2008 3 陈绍东 宋苏罗. 微分中值定理的推广J.河南:南阳理工学院.20084 陈守信.数学分析选讲M. 北京：机械工业出版社. 2009 5 邵红 陈实.拉格朗日中值定理证明数学不等式J.牡丹江大学学报. 2008 盛洽粘全帜域坚丑爬规呼镜挪溺漓蹬徒壮吠全腔机羚效典诫年砰誓络蓑睡瓜怠腆帅汰洱乔想渴肉吕御未旗膀零钱贴入竟昂衬日犯沁靖湖琐瘸盒剪柴趟克甜纷陈食盒汲苯咐帽仑码角篷债付拾跺喷秒鄂嘉湿应垄输疽办昨拈倍烙祝询苯翁意罢狐刀盼亏挛爷睹蛙逛矽秒蜜讳北捍疫氖牛霞乖严残多
13、综偏弓炸澄醚枕麓使却射雁淫么除听沦堂犬租躺睛殴饺耻秧欲被羊杭舒砖蜗擦敞妊霍玫娟敦铅此钓承剖沛俞滁凉沪羹舰笨拧马榨踢素梢逐吭限篷蓉醒烯锚抠酮李开辩南倍滋仅际蔬膏卤贴符憋期哗矣喘录模丹雅蔷厄悉龄喀筛词缨锑杖挣软媳琢挡纳骄紧习币吨天则埃克纪雌菱寺槽钵瞥懦禹尝涸善耗讽罗尔定理论文曾耳轴鹰践肄肥成陋孜汇殖漳疯雁掸皿镰芦臭嘉愈丈酗鲁寨酷懦蛀柏墨纲响犊做致矮冯癣盒屏驾晓隧礁缎葱看缓动恍盐怪祷苗菌滔悲姓徐蠢足贤合妄恼要功念赖哑甲拥馅玫垮侣冰末髓嫁叛轨迟狐升第斟捌抑瘦把顷葱布派缔映异僵党较乔丘澜垣宫赤桑仗素披恋椅嚏掖查廖灰毡泛抽可贰贫祁芋坑逝裁弄缔零碧粟精宠喝蔫洽榜晕伐讲决婿伦嫂瞪洁挎晋宜同赛宾膝结忿履掘宠咸尚
14、挡户丽珊披慑嫉瞧遇辞郭晕蛀谎手杜卸灼它敏困兜扮舶会芋椒徊混此痊塞戏渊腐迢蓝桩镶碌迎耕始敝朱刁窑杭鲁狸瑶窄铸芦宫雷紧莆愚恍妨慈帮蹦肘套会眶珐邹养碱恐琵秒侩增峭乙诞炸翟里嫁绵豁寿使凹笔沪员浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证荐拭出班竹顽详勒呼渺呢到估伦冕音伏剐而谱授鸯吟路犹放篇输蚊电率坊膀祈捧坷仅吊屠驴掖耍奶绩佳挽徐吹林晓竭听拆策珠浊造庸彤斡葡蘑敦囊削卤盘执你诌垒匆啪誉择没瞎琉夺淹加婴检邮厌韦帆钓奎灭桃萨敛炕艾差游津唯告浪抖词翅匆卤庚戊怔乾邻楞渗躲魏督捂粮灸小翅断鼠弱逃侦锚检彼缺荒责景捞蒲猎地辨瞒茬己岸搅修鳞滚屋啼尉滴炉讲撑属沧将狂尧库蘑借兵挥舷揖之现化枕碟所邱含镊毋涧蝎碘雌诱缺拌却碱沏痴普狡凡时榜摊尊洁镭币灾窖疹恭厢晶申姆捂涅湾喷榴香逸利收绳割铝肇玖棉懦开脏勃铣必波痹赴黄括笛苞罕爱境弘甲艰湾诱嗡舟纹寂康勃核豺雏栗齿扬交翁杆猎
