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1、.第四章 力学量的算符表示4.1 设、为矢量算符，其直角坐标系分量为等等。、的标记和矢积定义为 等等。试验证下列各式： 与余作东同学讨论得出：其实是个标量，然后再由分开证式左端写成分量形式为其中为Levi-Civita符号，即 ，有两个或三个相同式右端写成分量形式为故得 验证式，以第一分量为例，左端为相等，得证而式右端第一分量为验证式，以第一分量为例，左端为精品.而式右端第一分量为式和有时可以写成下列矢量形式：、对易、对易与间联线表示和取标积。（但是的位置在、之间。）如果、互相对易，上两式就可以写成这正是经典物理中的三重矢积公式4.2 设、为矢量算符，为标量算符，证明 证式右端等于 得证式右端
2、等于 得证精品.4.3 以、表示位置和动量算符，为轨道角动量算符，为由、构成的标量算符。证明 证利用对易式【】【】以及题4.2式 得证4.4 计算、。解利用对易式【如上题所证的，可以是的函数】即得精品.最后，利用对易式电动力学，郭硕鸿，电子书，p45精品.精品.4.5 定义径向动量算符试求其球坐标表达式，并求及。解在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为过渡到量子力学，动量算符为精品.由于和不对易，为了保证径向动量算符是Hermite算符，应取利用，易得【】利用，容易算出4.6 证明 证选一个分量证明即可，选：利用基本对易式即得精品.因此其次，由于和对易，所以因此4.7 证明 计算或和
3、及的标积【即： 】证利用题4.1证明过的三重积公式 以及【 】【 】【 】等基本对易式，即得当、为Hermite算符，即 容易验证 因此，式取共轭，即得 精品.类似地，可证取共轭即得 【对其共轭，】【对其共轭，】的另一种证明其中等是对易的4.8 证明，进而再证明证【的证明，】【】精品.【其中，】此即要证明的第一个公式，其中因而4.9 化简和的证明4.10 证明【的证明，】【曾谨言，量子力学卷一，p191，是三维转动的无穷小算符，而是转动下的标量，所以精品.不要忘记，和对易。因为】4.11 证明 证搞清楚这种形式的实质！【】，类似地，可得精品.【的证明，】【注意，和对易。】4.12 证明 目标应
4、该向两个存在的三个乘利用公式将两个靠近，这样的好处是和能对易与对易精品.4.13 证明证取分量加以证明【】因此精品.类似地，可得到分量和分量的公式。4.14 对于任何两个代表不同状态的态矢量余作东同学说，不代表两个本征态，即是两个波函数及（未归一化），试证明下列Schwarz等式：证一令并令由于代表不同状态，所以，？，即所以亦即证二对于任何复数，显然有但因代入上式，即得精品.令4.15 利用Schwarz不等式证明测不准关系式。证对于任何归一化的态矢量和Hermite算符及实参数！，作则为Hermite算符分析式子为实数其中平均值都是都是对态而言。注意均为实数厄米算符在任意状态下的平均值为实数
5、，也可以说厄米算符的本征值为实数。根据上题证明的Schwarz不等式，应有等号成立的条件为代表同一个状态，即精品.由，即得其中由于为Hermite算符，为实数。在式中，取如，取负值；如，取正值。以式代入式即得测不准关系式：等号成立的条件为，即为的本征态。4.16 设为正定曾谨言，量子力学教程第二版，p164，为正定厄米算符，的本征值为非负实数，的Hermite算符，、为任意态矢量，证明证精品.如；或，命题显然成立。一下只讨论及均不为0的情形。由于是正定的，必有，对于任何复数，作则由于是正定的，应有，即取代入上式这正是所要证明的。等号成立的条件为或或，即例如（为常数）就属于这种特例。如的本征值谱中不包含0，则式中等号能够成立的条件是，即。4.17 证明：为了保证是Herimite算符，波函数必须满足单值性条件证精品.作为Herimite算符，对于任意两个波函数和，应有（积分范围为全空间）如取，与无关，则，因此即由于被积函数的、部分有任意性，因此必须由于的方向可以任意选择，故上式亦即此即单值性条件。如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！精品
