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1、函数零点问题典例（含答案）1、(1)求函数f(x)2x2的零点；(2)已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点求实数a和b的值；设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求函数g(x)的极值点2、(1)判断函数f(x)2xlg(x1)的零点个数；(2)已知函数f(x)x22ext1，g(x)x(x0)若函数g(x)m有零点，求实数m的取值范围；确定实数t的取值范围，使得关于x的方程g(x)f(x)0有两个相异实根3、已知函数f(x)2xln(1x)，讨论函数f(x)在定义域内的零点个数4、已知函数f(x)x22mx2m1.(1)若函数f(x)的两个零点x1，x2满足x1
2、(1,0)，x2(1,2)，求实数m的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围5、已知函数f(x)x，h(x). (1)设函数F(x)18f(x)x2h(x)2，求函数F(x)的单调区间与极值；(2)设aR，解关于x的方程log4log2h(ax)log2h(4x)6、已知函数f(x)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若关于x的方程kf(x)1恰有3个不同的根，求实数k的取值范围1、 (1)求函数的零点，即求方程2x20的根(2)导数值为0且使导函数左右异号的点是极值点极值点一定是导函数的零点【解析】(1)令2x
3、20，由2x0，方程两边同时乘以2x，得(2x)222x10.由一元二次方程的求根公式，得2x1.由2x0，知2x1.函数f(x)2x2的零点是xlog2(1)(2)由题设，知f(x)3x22axb且f(1)32ab0，f(1)32ab0.解得a0，b3.由(1)，得函数f(x)x33x.f(x)2(x1)2(x2)方程g(x)0的根是x1x21，x32.函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0，当2x0，2是极值点又当2x1时，g(x)0，故1不是极值点函数g(x)的极值点是2.【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式注
4、意导数的零点的意义2、 (1)直接解方程f(x)0有困难，可以作出函数y2x及ylg(x1)的图象，还可以用判定定理(2)画出函数图象，结合最值与交点情况求解【解析】(1)方法一：令f(x)0，得2xlg(x1)，作出函数y2x及ylg(x1)的图象(如图2161)，可知有一个交点函数f(x)的零点有且只有一个方法二：首先x1，在区间(1，)上2x是减函数，lg(x1)也是减函数，函数f(x)在区间(1，)上为减函数且连续f(0)20lg 110, f(9)29lg 1010，f(0)f(9)0.函数f(x)在区间(1，)上有唯一零点(2)x0，g(x)x22e.当且仅当xe时取等号函数g(x
5、)的值域是2e，)，要使函数g(x)m有零点，则只需m2e.若关于x的方程g(x)f(x)0有两个互异的实根，即函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的图象(如图2162)3、【解析】函数f(x)的定义域为x|x1且函数f(x)在定义域内的图象是连续的f(x)2(x1)令f(x)0, 得x.当x时， f(x)0；当x1时，f(x)0函数f(x)在区间内为增函数，在区间内为减函数当x时， 函数f(x)有最大值f1ln1ln 20.又f(2)4ln 30, f(2)f0.函数f(x)在区间内有唯一零点，即在区间内有唯一零点又f(1e10)2(1e10)ln(11e10
6、)82e100，f(1e10)f0.函数f(x)在区间内有唯一的零点，即在区间内有唯一零点函数f(x)在区间(，1)内有且只有两个零点4、【解析】(1)根据函数f(x)的图象，得化简，得m.5、【解析】(1)函数F(x)18f(x)x2h(x)2x312x9(x0)，F(x)3x212.令F(x)0，得x2(x2舍去)当x(0,2)时，F(x)0；当x(2，)时，F(x)0.故当x0,2)时，函数F(x)为增函数；当x2，)时，函数F(x)为减函数故x2为函数F(x)的极大值点且F(2)824925. (2)方法一：原方程可化为log4(x1)log2log2log2且当a1时，方程无意义，即
7、方程无解当1a4时，1x0，x3.此时方程仅有一解x3.若4a0，方程有两解x3；若a5，则0，方程有一解x3；若a5，则0，方程无解综上，当a1或a5时，方程无解；当1a4时，方程有一解x3；当4a4时，1x4，由x1，得x26xa40.364(a4)204a.6、【解析】函数f(x)的定义域为(，0)(0，)(1)当x0时，x0，f(x)xln x，f(x)xln x，f(x)f(x)当x0时，x0，f(x)xln(x), f(x)xln(x)，f(x)f(x)f(x)是奇函数(2)当x0时， f(x)xln x，f(x)ln xxln x1.令f(x)0，得0x.当x时， f(x)为减函数令f(x)0，得x.当x时， f(x)为增函数又f(x)为奇函数，当x时， f(x)为减函数；当x时， f(x)为增函数函数f(x)的单调减区间为和，单调增区间为和(3)原方程等价于f(x)，考察函数f(x)的图象变化，由(2)，知当x 时， f(x)由0递减到f，当x时， f(x)由f递增到，当x时， f(x)由递增到f，当x， f(x)由f递减到0. 方程f(x)恰有3个不同的根，函数f(x)的图象与函数y的图象应有3个不同的交点0或0.ke或ke.【点评】本题关键是研究好函数的奇偶性、单调性，才能较好地利用数形结合法研究方程的根的个数问题
