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1、第十三章 函数列与函数项级数一、证明题1.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：(1) fn(x)=,n=1,2,D=(-1,1);(2) fn(x)=,n=1,2,D=(-,+);(3) fn(x)= (n=1,2);(4) fn(x)=, n=1,2, (i) D=0,+; (ii) D=0,1000;(5) fn(x)=sin, n=1,2, (i) D=-L,L; (ii) D=-,+;(6) , D=-,+;(7) , (i) D=-,+; (ii) D=.2. 证明:设f(x)f(x),xD; an0(n),(an0),若对每一个自然数n.有|fn(x)
2、-f(x)|an, xD,则fn在D上一致收敛于f.3. 设fn为定义在a,b上的函数列,且对每一个n,fn在点a右连续,但fn(an)是发散的,证明在任何开区间(a,a+)这里(a+b)内fn都不一致收敛.4. 设函数项级数(x)在D上一致收敛于S(x),函数g(x)在D上有界,证明级数在D上一致收敛于g(x)S(x).5. 若在区间I上,对任何自然数n, |un(x)|Vn(x), 证明当(x)在I上一致收敛时,级数(x)在I也一致收敛.6. 设un(x)(n=1,2,)是a,b上的单调函数,证明:若(a)与(b)都绝对收敛,则级数(x)在a,b上绝对并一致收敛.7. 在0,1上定义函数列
3、证明: 级数(x)在0,1上一致收敛,但它不存在优级数.8. 证明:级数在0,1上绝对并一致收敛,但由其各项绝对值组成的级数在0,1上却不一致收敛.9. 设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)=,n=1,2,证明函数列fn在(a,b)内一致收敛于f.10. 设un(x)为a,b上正的递减且收敛于零的函数列,每一个un(x)都是a,b上的单调函数.则级数u1(x)-u2(x)+u3(x)-u4(x)+在a,b上一致收敛.11. 证明: 若函数列fn在a,b上满足定理13.10的条件,则fn在a,b上一致收敛.12. 证明: 函数f(x)=在(-,+)上连续,且有连续的导函数.13.
4、 证明: 定义在0,2上的函数项级数 (0r0);15. 证明函数(x)=在(1,+)内连续,且有连续的各阶导数.16. 证明:若函数列fn在x0的某邻域U(x0,)内一致收敛于f,且,则与存在且相等,即=17. 设f在(-,+)上有任何阶导数,记Fn=f(n),且在任何有限区间内,Fn(n),试证 (x)=cex(c为常数).二、计算题1. 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.(1) ;(2) ;(3) ; (4) .2. 讨论下列函数列或函数英级数在所示区间D上的敛散性:(1) (2) ;(3) , D=-1,1;(4) , D=(0,+)(5) , D=(0,+)(6) , D=
5、-1,0;(7) D=-1,13. 设S(x)=,x-1,1,计算积分.4. 设S(x)=,x(-,+),计算积分.5. 设S(x)=(x0),计算积分三、考研复习题1. 试问K为何值时,下列函数列fn一致收敛:(1) fn(x)=xnke-nx,0x+;(2) 2. 证明:(1)若fn(x)f(x)(n)(xI),且f在I上有界,则fn至多除有限项外,在I上是一致有界的;(2) 若fn(x)f(x) (n)(xI),且对每一个自然数n,fn在I上有界,则fn在I上一致有界.3. 设f为上的连续函数,证明:(1) xnf(x)在上收敛;(2) xnf(x)在上一致收敛的充要条件是f在上有界且f(1)=04. 若把定理13.9中一致收敛函数列fn的每一项在a,b上连续改为在a,b上可积,试证fn在a,b上的极限函数在a,b上也可积.5. 证明: 由二重极限(cos2n(m!x)所确定的极限函数是狄利克雷函数.6. 设级数收敛,证明=.7. 设可微函数列fn在a,b上收敛,n在a,b上一致有界,证明:fn在a,b上一致收敛.
