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1、优质文档 摘要在工程试验及探究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度和时间的关系；疾病疗效和疗程长短的关系；毒物剂量和致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型和我们的生活生产亲密相关.本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的根本思想、模型的建立、以及详细应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性和非线性模型，在模型建立的根底上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题.关键词 曲线拟合；线性和非线性模型；最小二乘发 书目引言1第一章 曲线拟合21.1 根本思想及
2、根本概念21.1.1 方法思想21.1.2几个根本概念21.2辛普森算法根本定义及其应用41.2.1辛普森求积公式的定义41.2.2辛普森求积公式的几何意义51.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项51.2.4辛普森公式的应用6其次章 辛普森求积公式的拓展及其应用72.1 复化辛普森求积公式72.1.1问题的提出72.1.2复化辛普森公式及其分析72.1.3复化辛普森公式计算流程图82.1.4复化辛普森公式的应用92.2 变步长辛普森求积公式102.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程102.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程122.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图132.2.4变步
3、长辛普森公式算法程序代码142.2.5变步长辛普森求积公式的应用142.2.6小结142.2.7数值求积公式在实际工程中的应用14参考文献16附录A17附录B18附录C21优质文档引言辛普森是英国数学家.1710年8月20日生于波士沃希；1761年5月14日卒于波士沃希.在定积分近似计算中，以他的姓来命名的“辛普森公式”，虽早在他之前牛顿的学生柯特斯Cotes和斯特林就已经得出了包括一些更高阶的近似公式，但真正广泛地为人所知并加以应用，那么是1743年辛普森重新发觉之后的事了.辛普森的工作使牛顿的微积分学说得到了进一步完善.在我们的日常生活中计算积分和我们的生活生产亲密相关.所以驾驭数值积分方
4、法是学生储藏学问能量的武器.数值积分的一个根本的计算策略，用易于积分的简洁函数来靠近曲线.简洁曲线下面的面积近似等于下面的面积.假如涉及初等函数的积分找不到其他由初等函数构成的解析表达式，或者只在一些离散的点上知道函数的值，在多数状况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来， 因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的时机是不多的.那么就必需对定积分进展数值靠近.数值积分实现是将整个闭区间划分为个小段，在每个小段上对进展低阶分段多项式靠近.对每个小段上的靠近多项式积分时，就得到根本公式.根本公式只涉及足够多的对来定义分段多项式的某一段，将此公式应用到个小段并把结果相加得到复合公式，
5、或称为扩展公式. 在一个小段中节点的位置和数目确定了根本公式的很多重要特性.当节点匀称分布时，全部的积分公式称为牛顿柯特斯公式.例如，梯形、辛普森、柯特斯求积公式等.经典辛普森求积公式来源于Lagrange插值多项式的应用，它的代数精度高达3阶，其形变后的代数精度高达4阶，且二者都具有良好的稳定性和收敛性，从而提高了计算效率及准确度，是定积分近似计算常运用的方法，始终是理工科大学生必修的内容. 下面将给出详细辛普森求积公式的详细思想以及其算法程序设计并给出将其拓展后在实际工程问题中的应用.第一章 辛普森求积公式的理论实际问题当中时时须要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和
6、积分计算相联系.依据人们所熟知的微积分根本定理，对积分只要找到被积函数的原函数,便有以下牛顿-莱布尼茨公式：，但实际计算往往遇到一些困难，如: 1)的原函数不能用初等函数表示，故不能用牛顿-莱布尼茨公式计算.2) 虽然找到了 的原函数, 但因表达式过于困难而不便应用牛顿-莱布尼茨公式.3) 在很多实际问题中是以列表函数的形式给出, 即仅仅知道其在一些节点处的函数值， 牛顿-莱布尼茨公式也不能干脆运用，因此有必要探究积分的数值计算问题，数值积分是解决上述困难的一种有效方法.1.1根本思想及根本概念 方法思想由定积分中值定理：可知: 积分可以通过被积函数在处的值得到. 由于积分中值定理仅仅告知我们
7、在必须条件下是存在的, 但并没有给出确定的方法. 一个很自然的想法就是利用被积函数在节点处函数值的加权平均来替代(近似), 按此思想有 1-1这就是数值求积的思想有效地解决了本章起先提出的问题，权因子和节点 的不同确定方法就对应不同的数值求积公式. 几个根本概念定义1.1 称形如(1-1)式的求积公式为机械求积公式,其中仅节点的选择和无关，称为求积节点，称为求积系数.定义1.2 假如某个求积公式对于次数不超过的多项式均能准确地成立,而对于次多项式就不准确成立, 那么称该求积公式具有次代数精度或代数准确度.注1.1 a) 越大近似程度越高，标记着使函数准确成立的“个数”越多，但代数精度不是唯一衡
8、量标准. b) 假设机械求积公式的代数精度，那么有.c) 假设机械求积公式的代数精度为，即当时，由1.1式可得，对随意次数不超过的次多项式有.d) 代精度的凹凸, 从侧面反映求积公式的精度凹凸.定义1.3 称求积公式为插值型求积公式，式中求积系数通过插值基函数积分求得，即 1-2定理1.1 插值型求积公式的代数精度至少为次.定义1.4 假设节点将被积区间等分成等分, 即那么相应的插值求积公式称为Newton-Cotes (牛顿-柯特斯)求积公式. 即等距节点情形下的插值求积公式称为牛顿-柯特斯公式, 相应的求积系数称为Cotes系数.常见的几个简洁求积公式( Newton-Cotes公式)，如
9、表1-1所示：表1-1 几种简洁N-C求积公式总结表名称形式梯形求积公式辛普森求积公式柯特斯求积公式其中注1.2 a时，N-C公式出现数值不稳定. b为偶数时，N-C公式的代数精度至少为次，为奇数时，N-C公式的代数精度至少为次.定义1.5 截断误差: 由 1-3当时可得梯形求积公式的截断误差类似的，可得当，时的截断误差注1.3 从截断误差公式可知，当区间长度较大时，求积公式误差较大.1.2辛普森算法根本定义及其应用 辛普森求积公式的定义设计积分区间划分为等份，步长，选取等距节点构造出的插值型求积公式为牛顿柯特斯Newton-Cotes公式，式中称为柯特斯系数.依据插值型求积公式系数1-2，引
10、进变换，那么有当时，由上式有 那么相应的求积公式是辛普森求积公式： 1-4辛普森求积公式的几何意义辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C三点的抛物线代替所得曲边梯形面积，如图1.1所示.Y=fx图1.1 辛普森求积公式的几何意义图 yx O 0a bABC辛普森求积公式的代数精度及其余项由N-C公式的特点知，当为偶数时N-C公式的代数精度至少为次，由于Simpson求积公式为时的N-C公式，故它的代数精度至少为3次，即将代入Simpson公式1-4左边右边左边由此可知使得Simpson求积公式不准确成立，所以即Simpson公式代数精度为3次由N-C公式的余项公式1-3知，当时可得辛普森求积
11、公式的截断误差 1-5辛普森公式的应用例1.1 用辛普森求积公式计算积分.由积分形式可知 用辛普森公式计算有下式其中.计算流程图图1.2 例1.1流程图起先定义函数fx输入n，a，b的值计算h=b-a/n调用函数fx，计算s的值输出s的值完毕C语言程序代码及其运算结果详见附录A分析附录A可知第二章 辛普森求积公式的拓展及其应用为了提高精度，通常在实际应用中往往采纳将积分区间划分成假设干个小区间，在各小区间上采纳低次的求积公式，如：梯形公式或辛普森公式，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式，本章重点介绍复化辛普森求积公式.2.1 复化辛普森求积公
12、式问题的提出由截断误差可知，当区间长度较大时，Newton-Cotes求积公式的误差较大. 为构造更高精度的数值积分公式，可以采纳分段低次多项式替代整体高次多项式，为此，利用积分关于区间具有可加性，将区间上的积分，分成假设干小区间上的积分，以此来削减积分区间长度引起的误差.这就引用了复化求积公式. 其根本思想是：先把积分区间分成一些长度较小的子区间，在每个子区间上运用低阶的牛顿-柯特斯公式，即利用并把小区间上的积分用前面的方法近似求得，由此即可得到相应的复化求积公式. 最常用的是复化梯形公式和复化辛普森公式，下面学习辛普森求积公式.复化辛普森公式及其分析定义2.1 将小区间上的积分分别用辛普森
13、公式计算，即可得到复化辛普森公式其中.另一种定义形式为：用分段二次插值函数代替，记在第段的两个小区间上，用三个结点作二次插值函数，然后积分，求段之和可得整个区间上的近似积分称该求积公式为复化辛普森求积公式抛物线公式.定理2.1 假设那么复化辛普森公式的截断误差为且.注2.1 从误差公式可以看出当时，比的精度一般要高，但他们的计算量几乎一样.注2.2 属于机械型求积公式，但不属于插值型、也不属于N-C求积公式.的代数精度为4次，具有稳定性和收敛性即或.复化辛普森公式计算流程图为了削减计算工作量，优化程序设计，将复化辛普森公式改写为那么于此相对应的辛普森流程图为：图2.1 复化辛普森算法流程图起先输入A,B,N H=B-A/2*NS=0.5*FA- FB，调用函数FS=S+2*FA+2*I-1*H+FA+2*I*H，调用函数FS=B-A/3*NS输出S完毕I=1,N定义函数F 复化辛普森公式的应用例2.1 用复化辛普森公式计算正弦积分的近似值.分析该积分可知 ，那么为步长C语言程序代码及其运算结果详见附录B由此可知例2.2 用复化辛普森公式计算定积分.分析该积分可知，那么为步长C语言程序代码及其运算结果详见附录B.由此可知在利用插值型求积公式求积分时，为了提高精度有两种途径.一是提高积分区间上的插值多项式的阶数，从而也就提高了求积的阶数.但是，由于插值多项式的阶数
