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1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)几何体的体积公式和应用几何体的类型和体积公式 求几何体的体积是高考的命题热点,其中,因“标准几何体”:柱体、锥体和台体均有体积计算公式,且具有统一表示式,而成为高考命题的关注点,甚至是着力点.母题结构:己知棱台上、下底面面积分别为S1、S2,高为h,则体积V=(S1+S2)h.母题解析:以三棱台ABC-A1B1C1为例证明:将三棱台ABC-A1B1C1补形成三棱锥S-ABC,如图,作SO底面ABC于O,交平面A1B1C1于点O1,则SA1O1SAOSO1:SO=O1A1:OA;由A1B1C1
2、ABCO1A1:OA=:SO1:(SO1+h)=:SO1=h三棱台ABC-A1B1C1的体积V=VS-ABC-VS-=S2(h+SO1)-S1SO1=S2h+(S2-S1)SO1=S2h+(S2-S1)h=(S1+S2)h. 1.柱体的体积 子题类型:(2013年课标高考试题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=600.()证明:ABA1C; ()若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.解析:()取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B;由CA=CBOCAB;由AB=AA1BAA1=600AA1B为等边三角形OA1ABAB平面OA1C
3、ABA1C;()由ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形OC=OA1=;又A1C=A1C2=OC2+OA12OA1OCOA1平面ABCOA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高;又ABC的面积SABC=三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=SABCOA1=3.点评:在台体的体积公式中,当S1=S2=S时,得柱体的体积公式V=Sh;当柱体的底面为S时,高h是两面距离;当柱体的侧棱为高h时,垂于侧棱的截面是底面. 2.锥体的体积 子题类型:(2010年课标高考试题)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高.()证明:平面PAC平面PBD;()若AB=
4、,APB=ADB=600,求四棱锥锥P-ABCD的体积.解析:()由PH平面ABCDPHACACPH,又由ACBDAC平面PBD平面PAC平面PBD;()在等腰梯形ABCD中,ABCD,ACBD,AB=HA=HB=;由ADB=600CH=DH=AHcot600=1梯形ABCD的面积S=ACBD=2+;又由APB=600PA=PB=AB=PH=四棱锥锥P-ABCD的体积V=SPH=.点评:在台体的体积公式中,当S1=0,S2=S时,得锥体的体积公式V=1/3Sh;求锥体的体积,除利用公式直接求解外,还可分割为一组四面体,并充分利用四面体体积的换底性质求解. 3.台体的体积 子题类型:(1991年
5、全国高考试题)如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,已知A1A底面ABC,A1A=A1B1=B1C1=a,B1BBC,且B1B和底面ABC所成的角450,求这个棱台的体积.解析:作B1DAB于D,由A1A底面ABC平面ABB1A1底面ABCB1D底面ABCB1B和底面ABC所成的角为B1BD=450BD=B1D=A1A=aAB=2a;由A1ABC,B1BBCBC平面ABB1A1BCAB;由A1B1=B1C1=a,且ABCA1B1C1SABC=2a2,S=a2棱台的体积V=a3.点评:求棱台体的体积,要注意台体的性质,即上、下底面是相似多边形,由此求出相关量,利用公式求解. 4.子题系列:1.(
6、2013年陕西高考试题)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O平面ABCD,AB=AA1=.()证明:平面A1BD平面CD1B1;()求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.2.(2014年江西高考试题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1BBB1.()求证:A1CCC1;()若AB=2,AC=,BC=,问AA1为何值时,三棱柱ABC-A1B1C1体积最大,并求此最大值.3.(2013年湖北高考试题)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿
7、层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2DE中截面DEFG是梯形;()由S中=(DE+GF)MN=d1+(d2+d3)aV-V估=(d2+d3)-2d10VV估.4.解:()由BD=2AD=8,AB=4BDAD,又平面PAD平面ABCDBD平面PAD平面MBD平面PAD;()取AD的中点H,则AH平面ABCD,且AH=2,由梯形ABCD的面积S=24四棱锥P-ABCD的体积V=16.5.解:()分别取OE,OF的中点M,N,分别取OA,OD的中点S,T,则BM平行且等于ST,CN平行且等于STBM平行且等于CNBCMNBCEF;()因FTOD,平面ABED与平面ACFD垂直FT平面ABED棱锥F-OBED的体积=.6.解:由四棱锥的A1-EBFD1的体积=V+V=V+V=a3.
