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1、1.2函数及其表示1.2.1函数的概念学习目标1.理解函数的概念.2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号知识点一函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法yf(x)，xA定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合叫做函数的值域特别提醒：对于函数的定义，需注意以下几点：集合A，B都是非空数集；集合A中元素的无剩余性；集合B中元素的可剩余性，即集合B不一定是函数的值域，函数的值域
2、一定是B的子集知识点二函数相等一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同知识点三区间区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半闭半开区间a，b)x|aa(a，)x|xa(，ax|xx2A，可能有f(x1)f(x2)()4区间不可能是空集()类型一函数关系的判断命题角度1给出三要素判断是否为函数例1判断下列对应是否为集合A到集合B的函数(1)AR，Bx|x0，f：xy|x|；(
3、2)AZ，BZ，f：xyx2；(3)AZ，BZ，f：xy；(4)Ax|1x1，B0，f：xy0.考点函数的概念题点判断两个变量是否为函数关系解(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：xyx2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：xy0，在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数反思与感悟判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面
4、去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一跟踪训练1下列对应是从集合A到集合B的函数的是()AAR，BxR|x0，f：xBAN，BN*，f：x|x1|CAxR|x0，BR，f：xx2DAR，BxR|x0，f：x考点函数的概念题点判断两个变量是否为函数关系答案C解析A中，x0时，集合B中没有元素与之对应；B中，当x1时，绝对值|x1|0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应命题角度2给出图形判断是否为函数图象例2下列图形中不是函数图象的是()考点函数的概念题点函数概念的理
5、解答案A解析A中至少存在一处如x0，一个横坐标对应两个纵坐标，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义反思与感悟判断一个图象是否为函数图象的方法，作任何一条垂直于x轴的直线，不与已知图象有两个或两个以上的交点的，就是函数图象跟踪训练2下列图形中，不能确定y是x的函数的是()考点函数的概念题点函数概念的理解答案D解析任作一条垂直于x轴的直线xa，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系类型二已知函数的解析式，求其定义域例3求下列函数的定义域(1)y3x；(2)y2；(3)y；(4)y.考点函数的定义域题点求具体函数的定义域解
6、(1)函数y3x的定义域为R.(2)由得0x，所以函数y2的定义域为.(3)由于0的零次幂无意义，故x10，即x1.又x20，即x2，所以x2且x1.所以函数y的定义域为.(4)要使函数有意义，需解得x2，且x0，所以函数y的定义域为.反思与感悟求函数定义域的常用依据(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练3函数f(x
7、)的定义域为_考点函数的定义域题点求具体函数的定义域答案x|x0且x1解析要使有意义，需满足解得x0且x1，故函数f(x)的定义域为x|x0且x1类型三函数相等例4下列函数中哪个与函数yx相等？(1)y()2；(2)y；(3)y；(4)y.考点相等函数题点判断是否为相等函数解(1)y()2x(x0)，定义域不同，所以不相等(2)yx(xR)，对应关系相同，定义域也相同，所以相等(3)y|x|，当x0时，它的对应关系与函数yx不相同，所以不相等(4)y的定义域为x|x0，与函数yx的定义域不相同，所以不相等反思与感悟在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等值域相等，只是前两个要
8、素相等的必然结果跟踪训练4下列各组中的两个函数是否为相等的函数？(1)y1，y2x5；(2)y1，y2.考点相等函数题点判断是否为相等函数解(1)两函数定义域不同，所以不相等(2)y1的定义域为x|x1，而y2的定义域为x|x1或x1，定义域不同，所以两函数不相等类型四对于f(x)，f(a)的理解例5已知f(x)(xR且x1)，g(x)x22 (xR)(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2)的值；(3)求f(a1)，g(a1)；(4)若g(a)4，求实数a的值考点对f(a)与f(x)的理解题点已知函数值求参数解(1)因为f(x)，所以f(2).又因为g(x)x22，所以g(2)22
9、26.(2)f(g(2)f(6).(3)f(a1).g(a1)(a1)22a22a3.(4)g(a)a224，所以a22，a.反思与感悟f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，要求对应的函数值，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可跟踪训练5已知f(x)(x1)(1)求f(0)及f的值；(2)求f(1x)及f(f(x)；(3)若f(x)2，求x的值考点对f(a)与f(x)的理解题点已知函数值求参数解(1)f(0)1.f，ff.(2)f(1x)(x2)f(f(x)fx(x1)(3)由f(x)2，得1x2(1x)，3x1，解得x.1对于函数yf(x)，以下说
10、法正确的有()y是x的函数；对于不同的x，y的值也不同；f(a)表示当xa时函数f(x)的值，是一个常量；f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A1个B2个C3个D4个考点函数的概念题点函数概念的理解答案B2区间(0,1)等于()A0,1B(0,1)Cx|0x1Dx|0x1考点区间的概念题点区间概念的理解与应用答案C3对于函数f：AB，若aA，则下列说法错误的是()Af(a)BBf(a)有且只有一个C若f(a)f(b)，则abD若ab，则f(a)f(b)考点函数的概念题点函数概念的理解答案C4设f(x)，则_.考点对f(a)与f(x)的理解题点求函数值答案1解析f(2)，f，1.5下列各组函
11、数是同一函数的是_(填序号)f(x)与g(x)x；f(x)x与g(x)；f(x)x0与g(x)；f(x)x22x1与g(t)t22t1.考点相等函数题点判断是否为相等函数答案解析f(x)x，g(x)x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；f(x)x，g(x)|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；f(x)x01(x0)，g(x)1(x0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；f(x)x22x1与g(t)t22t1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数1函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是
12、否相等只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可2定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合3在yf(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关于对应关系f，它是函数的本质特征，如f(x)3x5，f表示“自变量的3倍加上5”，我们可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值一、选择题1下列各式中是函数的个数为()y1；yx2；y1x；y.A4B3C2D1考点函数的概念题点判断代数式或对应关系是否为函数答案B解析根据函数的定义可知，都是函数对于，要使函数有意义，则x无解，不是函数2下列各组函数中，表示同一个函数的是()Ayx1和yByx0和y1Cf(x)x2和g(x)(x1)2Df(x)和g(x)考点相等函数题点判断是否为相等函数答案
