《线性代数知识点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数知识点（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、行列式:阶 行 列 式|all a12|a2i a22raiia2rai2a21阶 行 列 式all a12a13a21a22a23a31a32a33-ana2.=ana22a33+ a12a23a3i+ ai3a2ia32应32邀2辺1巧3如3辺2也1全 排 列把n个不同的元素排成一列逆 序n个元素的一个排列中，当某两个元素的先后次序 与标准次序不同时，称有1个逆序。逆 序 数一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的 逆序数。n 阶 行 列 式all a12alnD= a21a22a2nanl n23nn,可简记作det（ay）对 角 行 列 式=312 a】上角 行 列 式主对角线以上的元素
2、都为0的行列式一个排列中两个元素对换、排列改变奇偶性奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变 成标准排列的对换次数为偶数n阶行列式也可定义为D%其中t为行标排列Pip2-pn逆序数转 置 行 列 式dt=all a21anla12a22 an2a Ina2n ann行列式与它的转置行列式相等互换行列式的两行（列），行列式变号如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等 于零行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k,等于用数k乘此行列式行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提 至IJ行列式记号的外面行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列 式等于零若行列式的某一列（行）的元素
3、都是两数之和，则 行列式可拆成两个行列式和。把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后 加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。代 数 余 子 式在n阶行列式中，扌巴（1, j）元aij所在的第1行和 第J列划去后，留下的n-1阶行列式叫做G, j）元 a*的余子式，记作M”；记（1, j）元的代数余子式一个n阶行列式，如果其中第1行所有元素除 （1，J）元吗外都为零，那么这行列式等于砌与它 的代数余子式的乘积，即D=agAXJ行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的 代数余子式乘积之和，即D=a1iAxi+a12A12+- +amAm （1=1或 D=aijAij+a 为 A2j+
4、a吋 A 帀（i=l,2/-,n）范 德 蒙 行 列 式1 11X1 X2XnDn= X1X2 - Xn HHngMXj-Xi): : :x；-1 x?-1 - xr1行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零。即 a】i Aji+aA -+3 =0（1 Hj）或aij+a五处+am如=0（iHj）克 拉 默 法 则如果线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组 有惟一解，D1DDnX2 = y,Xn=-其中，Dj是把系数行列式D中的第j列用方程组右 端的常数项代替所得n阶行列式值。如果线性方程组的系数行列式DH0,则方程组有 惟一解。如果线性方程组无解或有两个
5、不同的解，则它的系 数行列式必为零。如果齐次线性方程组的系数行列式DH0,则方程 组没有非零解如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式 必为零线 性 方 程 组右端常数项不全为零时，称为非齐次线性方程组： 右端常数项全为零时，称为齐次线性方程组。矩阵及其运算mXn 矩 阵由 mXn 个数 aij(i=l, 2,，m； j=l,2t ，n)排 成的m行n列的数表all a12alna21a22a2naml am2 anm称为m行n列矩阵，简称mXn矩阵。n 阶 矩 阵行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵，也称n 阶方阵。零 矩 阵元素都是零的矩阵线 性 变 换(Yl= allxl + 如2*
6、2 + + 叭Mn1 y2 = 2iXi+a22x2 + -+a2nxn) Vru = aru 1X1 + aru2x2 + + amn xn表示一个从变量X到变量Y的线性变换。对 角 矩 阵不在对角线上的元素都是0的n阶方阵 A = dkig (入 1，入2，入n)矩 阵 的 和设有两个mXn矩阵A=(aij)和B=(bij),那么矩阵A 与B的和记作A+B,等于对应元素相加所得矩阵。矩 阵 乘 数AA = AA =all 入心 2aln入H21入吃2 入2nAllpj j 入 dm2 入 Qnin矩 阵 的 运 算A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)(入+p)A=XA+pA%(A
7、+B)= XA+XB矩 阵 的 积设A是mXs矩阵，B是SXn矩阵，规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个mXn矩阵C,其中 ij=ailb lj+3i2b2j * * *+3认1)幷 (1=1,2,m； j=l,2,n)(AB)C=A(BC)X(AB)= (1A)B=A(W) A(B+C)=AB+AC； (B+C)A=BA+CA纯 量 阵矩阵%E称为纯量阵(XE)A=XEA=XA； A(XE)= XAE=XAAkA=Ak+1, (Ak)1=Akl转 置 矩 阵把矩阵A的行换成同序数的列所得矩阵(at)t=a (a+b)t=at+bt (xa)t=xat (ab)t=btat方 阵 A 的 行 列
8、式由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位 置不变)，称为方阵A的行列式，记作|A|或detA。|AT|=|A| XA=rA |ABHA|B|伴 随 矩 阵行列式|A|的各个: 下矩阵称;A*=朮素的代数余子式A】 为A的伴随矩阵，记A11 A21 AdA12A22An2Ain a2n Ag.J所构成的如 作A*AA*=A*A=|A|E逆 矩 阵对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使 AB=BA=E,则说A是可逆的，并把B称为A的逆 矩阵。若矩阵A可逆，则|A|HO若|A|HO,则矩阵A可逆，其中A* |A|为A的伴随矩阵。奇 异 矩 阵|A|=0的矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|
9、HO,即可逆矩 阵是非奇异矩阵。若 AB=E,则 B=A4若A可逆,则也可逆,且(A)=A若A可逆，数H0,则A可逆，且(AA)-1 = A-1若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且分 块 对 角 矩 阵设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线 上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线 上的子块都是方阵，则称A为分块对角矩阵分块对角矩阵的行列式具有性质：|A|=A1|A3|IAjIay1 o 分块对角矩阵A-】 =：.：0A；1矩阵的初等变换与线性方程组初 等 行 变 换对调两行 以数k乘某一行中的所有元素 某行的k倍加到另一行对应元素上矩 阵 等 价A经有限次初等行变换变成矩阵B
10、,就称A与B行 等价；A经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩 阵A与B列等价；如呆矩阵A经有限次初等变换 变成矩阵B,就称矩阵A与B等价，记作ABA-A若AB,则BA 若/, BC,则 AC行 阶 梯 矩 阵可画出一条阶梯线，线的卞方全为0,每个台阶只 有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯的竖线后 面的第一个元素为非零元。行 最 简 形 矩 阵非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列 的其他元素都为0标准形对行最简形矩阵再进行初等列变换，可变成一种形 状更简单的矩阵，称为标准形。特点：左上角是一个单位阵，其余元素全为零设A与b为mXn矩阵，那么：A与B行等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P,
11、 使 PA=BA与B列等价的充要条件是存在n阶可逆矩阵Q, 使 AQ=BAB的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可 逆矩阵Q,使PAQ=B初 等 矩 阵由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵种 初 等 矩 阵E (1, j)、E (1 (k)、E (ij (k) 其中(ij (k),表示j行的k倍加到1行E (i, j) _1=E (i j)；E (i (k) 4=E (i (b)； kE (ij (k) 4=E (ij (-k)设A是一个mXn矩阵，对A施行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行 次初等列变换，相当于在A的右边乘 以相应的n阶初等矩阵。方阵A可逆的充
12、分必要条件是存在有限个初等矩 阵 Pi. P2. -Pi，使 A=PiP2Pi方阵A可逆的充分必要条件是A与E行等价k 阶 子 式在mXn矩阵A中，任取k行与k列(kWm,kWn), 位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A 的k阶子式。矩 阵 的 秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所 有1H-1阶子式全等于0,那么称D为矩阵A的最高 阶非零子式，数r称为矩阵A的秩可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵(奇异矩阵) 又称降秩矩阵。若 AB,则 R (A) R (B)若可逆矩阵P，Q，使PAQ=B,则R(AR(B) OWR (Am-n Wm
13、inm,n R(AT)=R(A) 若/,则 R(AR(B) 若P、Q可逆，则R(PAQR(A) maxR(A),R(B)WR(A,B)WR(A)+R(B) 特别地，当B=b为非零向量时，有R(A)R(A, b)WR(A+l) R(A+B)WR(A)+RCB) R(AB)minR(A), R(B) 若 Amn：.f=O,则 R(A”RCB)Wn设AB=O,若A为列满秩矩阵，则B=0n元线性方程组AxM 无解的充要条件是R(A) VR(A, b) 行惟一解的充要条件是R(AR(A, b)=n 有无穷多解的充要条件是R(AR(A, b)nn元齐次线性方程组Ax=O有非零解的充要条件是 R(A)n线性方程组AxM)有解的充要条件是R(A)=R(A, b)桿血八皆的充要条件是R(A;=R(A. E；设 AB=C,则 R(C)WminR(A),R(B)向量组的线性相关性n 维 向 量n个有次序的数al, a2,，an所组成的数组向 量 组若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合线 性 组 合给定向量组A： ai，a?,，a*对于任何一组实 数 ki，k2,，km,表达式 kiai+k2a2+kma皿称 为向量组A的一个线性组合。线 性 表 示给定向量组A： aP a2,，am和向量b,如果存 在一组数九,入2，ktv 使得 b=Xi a i+
