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1、第44课 基本不等式考试目标 主词填空1若a,bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时取等号.2设a,bR+,则称为a,b的算术平均值；称为a,b的几何平均值.3平均值不等式的原形与变形 (当且仅当a=b时取等号)为原形.变形有:a+b；ab,当且仅当a=b时取等号.4利用平均值不等式求最大最小值，是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况.5最值定理如果a,bR+,ab=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;如果a,bR+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.题型示例 点津归纳【例1】 设x2,5),求下列函数的最值.(1)y=(3+2x)(6-x);(2)y
2、=(3+2x)(4-x);(3)y=4x-92x+1+80;(4)y=.【解前点津】 (1)因3+2x=12-2x时,x=2,5,故可直接应用平均值不等式;(2)因3+2x=8-2x时,x=但2,5故不能使用平均值不等式;(3)可分解为y=(2x-8)(2x-10);(4)因方程无根,故不能使用平均值不等式，而考虑其“单调性”.【规范解答】 (1)y=(3+2x)(6-x)=(3+2x)(12-2x)(3+2x)+(12-2x)2= ,当且仅当3+2x=12-2x,即x=时,ymax= ,又x=2时,y=28;x=5时,y=130,应确定为圆形地皮.【解后归纳】 在一切封闭平面图形中，若周长一
3、定，则只有圆的面积最大.【例3】 若正数a、b满足aba+b+3,试求a+b的取值范围.【解前点津】 设a+b=x,利用平均值不等式，可推导出一个关于x的不等式.【规范解答】 设a+b=x,则x0,abx+3,又ab=，故由不等式的传递性得x+3,解之x6,故a+b的取值范围是6,+.【解后归纳】 求某表达式的取值范围，常可使用“换元法”，从而达到等价转化的目的.【例4】 已知:x、y、zR+,且满足x+y+z=1,求的取值范围.【解前点津】 不具备用平均值不等式的条件，但是+mx,(m0),则可用等价变形，构造使用平均值不等式的条件可求范围.【规范解答】 x+y+z=1,引入参数m0,mx+
4、my+mz=m=(+mx)+( -m2+4 +6 -m=12-m.当且仅当=mx且=my且=mz,即x=且y=且z=时取等号.代入x+y+z=1得: +=1.解之m=36.12-m=12-36=36.综上所述可知:的取值范围是36,+).【解后归纳】 为了使用平均值不等式，可引入一个参数，构造一个含有参数的不等式，它能运用平均值不等式，使运算能进行下去，最后，依据相等的条件，可解出参数的值.对应训练 分阶提升一、基础夯实1.已知x,yR,且2x2+y2-4x0,则 ( )A.y24x B.y20,-,bcad,以其中两个作条件，余下一个作结论，可以组成正确命题的个数是 ( )A. 0 B.1
5、C.2 D.3.对于x0,1的一切值，则a+2b0是使ax+b0恒成立的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则有 ( )A.x=(a+b) B.x(a+b)C.x(a+b) D.x (a+b).若不等式x+2a(x+y)对一切正数x,y恒成立，则正数a的最小值为 ( )A.1 B.2 C. D.2+1.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为( )元.A.1000 B.15
6、00 C.2000 D.2500.设x,y是满足2x+y=20的正数,则lgx+lgy的最大值是 ( )A.50 B.2 C.1+lg5 D.18.已知正数a,b满足ab=a+b+5,则ab的取值范围是 ( )A.7+,+) B.7-,+)C.7+2,+) D.7-2,+)二、思维激活9.点P(x,y)是直线x+3y-2=0上的动点,则代数式3x+27y的最小值是 .10.如果|x|,则函数f(x)=cos2x+sinx的最大值是 .11.如果圆柱轴截面的周长L的定值，则圆柱体积的最大值为 .12.某厂年产值第二年比第一年增长的百分率为P1，第三年比第二年增长的百分率为P2，第四年比第三年增长
7、的百分率为P3，若P1+P2+P3为定值，则年平均增长率的百分率P的最大值为 .三、能力提高13.已知2b+ab+a=30(a0,b0),求y=的最小值.14.求函数y=(x-1)的值域.15.已知:ab0,求的最小值.16.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米时)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米时)的函数，并指出该函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶.第2课 基本不等式习题解答1.D 因2
8、x24x-y2成立,故必有4x-y20即y24x.2.D 可逐一检验.B由条件,x=0时,b0,x=1时,a+b0a+2b0.B由(1+x)2=(1+a)(1+b)(1+)2.B由条件:2(a-1)x+ay恒成立,而(a-1)x+ay2,令2=2 ,a(a-1)=2,a=2. .C设池底的一边长为x m,总造价为y元,则池底的邻边之长为 m,由条件得:y=180x +802(2x+)=720+320(x+)720+3202=2000.7.Clgx+lgy=lgxy=lgx(20-2x)=lg2x(10-x)lg2=lg50=1+lg5.8.C由ab=a+b+52+5,得( )2-2 5(-1)
9、26ab7+2 .9.3x+27y=32-3y+33y2=6,故最小值为6.10.f(x)=1-sin2x+sinx=1+sinx(1-sinx)1+()2=.11.因4R+2h=L为定值,故V柱=R2h=(2R)(2R)(2h)= ()3=L3为所求最大值.12.由题意:(1+P1)(1+P2)(1+P3)=(1+x)3,(1+x)3,x(P1+P2+P3),故P的最大值为(P1+P2+P3).13.2b+ab+a=30,30ab+2,-5 3,当且仅当a=2b时,取等号,解方程组得a=6且b=3ymin=.14.x-1,x+10,令m=x+1,则m0且y=2+5=9,当且仅当m=2时取等号
10、,故ymin=9.又当m时,y,故原函数的值域是9,+).15.ab0,a-b0,故.而b(a-b)=(当且仅当b=a-b即2b=a时取等号).故b(a-b)有最大值.故原式=a2+a2+2=56.(当且仅当a2=,2b=a,即a=2时取等号).故原式的最小值为56.16.(1)由条件知:汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv,全程运输成本为y=a+bv2 =s(+bv),故所求函数及定义域为:y=s( +bv),v(0,c).(2)因s、a、b、v都为正数，故有s(+bv)2s,当且仅当=bv,即v=时取等号.若c,则当v=时,全程运输成本y最小;若c,当v(0,c时，有s(+bv)-s(+bc)=sa+b(v-c)=(c-v)(a-bcv).因为c-v0且abc2,故a-bcva-bc20.所以ss.当且仅当v=c时等号成立，也即v=c时，全程运输成本y最小;综上所述知：为使全程运输成本y最小,当c时,行驶速度应为v=;当 c时,行驶速度应为v=c.
