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1、2.1 一元线性回归模型有哪些基本假定？答：1. 解释变量 x1 , x2, xp, 是非随机变量，观测值 xi1, xi2, , xip 是常数。2. 等方差及不相关的假定条件为E( i) 0, i 1,2, ,n2,i jcov( i, j )(i, j 1,2, ,n)0,i j这个条件称为高斯 - 马尔柯夫 (Gauss-Markov) 条件，简称 G-M条件。在此条 件下，便可以得到关于回归系数的最小二乘估计及误差项方差 2 估计的一些重 要性质，如回归系数的最小二乘估计是回归系数的最小方差线性无偏估计等。3. 正态分布的假定条件为2i N(0, 2), i 1,2, ,n1, 2,
2、 , n相互独立在此条件下便可得到关于回归系数的最小二乘估计及2 估计的进一步结果，如它们分别是回归系数的最及 2 的最小方差无偏估计等，并且可以作回归的显 著性检验及区间估计。4. 通常为了便于数学上的处理， 还要求 n p, 及样本容量的个数要多于解 释变量的个数。在整个回归分析中， 线性回归的统计模型最为重要。 一方面是因为线性回归 的应用最广泛； 另一方面是只有在回归模型为线性的假设下， 才能的到比较深入 和一般的结果；再就是有许多非线性的回归模型可以通过适当的转化变为线性回 归问题进行处理。因此，线性回归模型的理论和应用是本书研究的重点。1. 如何根据样本 (xi1,xi2, ,xi
3、p; yi )(i 1,2, ,n) 求出 0, 1, 2, , p 及方差 2 的估计 ;2. 对回归方程及回归系数的种种假设进行检验；3. 如何根据回归方程进行预测和控制，以及如何进行实际问题的结构分析。2.2 考虑过原点的线性回归模型yi 1xi i, i 1,2, ,n 误差 1, 2, , n 仍满足基本假定。求 1的最小二 乘估计。nn答： Q( 1)(yi E(yi)2(yi 1x1)2i 1 i 12 (yi1xi)xii12xi yi 2 1 xi2i 1 i 1Q1n0,即xi yii1n1xi20i1nxiyii1nxi2i1nxi yi解得 ?1 i 1n,即 ?1 的
4、最小二乘估计为 ?12xii1y2.3 证明： Q ( 0， 1)= ( yi - 0- 1 xi )2因为 Q ( 0, 1 )=min Q ( 0, 1 )2QQ而 Q ( 0,1)非负且在R 上可导,当Q取得最小值时，有? 0? 0?0?1即-2( yi-0-1 xi)=0-2(yi -0- 1 xi) xi=0又 ei = yi -(0+ 1 xi )=yi -0 -1 xi ei =0， ei xi =0(即残差的期望为 0，残差以变量 x 的加权平均值为零)2.4 解：参数0，1的最小二乘估计与最大似然估计在 iN(0, 2 ) i=1,2 ， n的条件下等价。2 证明：因为 i
5、N(0, ),i 1,2,n乘估计与最大似然估计等价2.5. 证明 0 是 0 的无偏估计。证明：若要证明0是 0的无偏估计，则只需证明 E( 0)= 0 。1 Lxy /LxxLxyLxx因为 0 ，(xi x)(yi1 的最小二乘估计为 0y)xiyi nxyxi yi(xi x)2xi 22 nx1yE( ?0 )=E( y ?1x )=E( n i 1xi1n(n=En1(1 i 1 nxi xx i )( 0Lxxy 1x 其中1nxiyinxi)2xixiyi)=E i 1 ni 1 L xx1xii )1 x xi x)yiLxx=E(其中(1ni 1 nx xi x) 0Lxx
6、(1 x i 1 nxi x)Lxxn0i1)+E( i 1 n(n1 xxi x)Lxxx xi x) 1xi(1)+E( i 1 n1x0(n (xi x)n Lxx i 1x xi x) i(xi由于 i 1x)=0，(1 x 所以 i 1 nxi x) 0Lxx(1 x xixi 1 n Lxx) 1xi1 (xi x xi xi 1 nLxxxi ) 1(xx(xi x)xi )Lxx i 1xx i 11(xxnxLxx i 1(xi x)(xi - x)= 1(x x) =0yi01xi又因为一元线性回归模型为各 i 独立同分布，其分布为 N(0, 2)所以 E(i )=0 所以
7、n1(1 E( i 1 nx xi x)0Lxx)+E( i 1 nx xi x) 1xiLxx(1n x xi x) i )+E( i 1 nLxx=E( 0) E(0) i 1(n xxi x)E( i )Lxx所以 0 是 0 的无偏估计。y 1n yi2.6 解：因为 n i 1 i，0 y 1x，xixi 1 Lxx yi联立 式，得到i11x(1 x xinLxx ) yiLxx1 i xVar( ) Var ( x i0 i 1 nxx) yin 1 xi x(xxi) Var( yi)i 1 n Lxx 12 (xxi x)2x xi x 2LxxnLxx因为 Lxx i 1(
8、xi x) ， i 1(xi x) 0xxi1，所以1Var( 0) i 1n12 (x)2 i 1 (xi x)2x(xix)i1LxxnLxx1 (x)n Lxx2(x)i 1 (xi x)2.7 证明平方和分解公式： SST=SSE+SSR nn证明：SSTyi y 2 yi y?i) (y?i y 2i 1 i 1 n n ny?i y 2 2 yi y?i )( y?i yyi y?i) 2i 1 i 1 i 1nny?i y 2yi y?i ) 2 SSR SSEi 1 i 12.8 验证三种检验的关系，即验证：1）(n 2)r2）SSR/ 1Lxx ?12SSE/(n 2)?2t
9、2证明：（1）SSR因为Lxx和SSEn-2，所以tL2 xx2L xxn 2) SSRn 2)SSRSSTSSE nSSESSESST2 又因为 rSSRSST，所以1rSST SSR SSESSTSST(n 2)r故（2）1 r 2 得证。SSR(y?i y)i1n( ?0 ?1xii1y)2(y ?1(xix) y)2i1n( ?1(xi x)?1 Lxxi1SSR/1FSSE/(n 2)?12 Lxx t2t?22.9 验证（ 2.63 ）式：var(ei)1-n1 xi -xL xx证明： var （ei ） vary - y ) var ( y ) var( y )- 2cov(
10、y ，y )var(1 xi - x)221 ( xi x)221 ( xi x)nLxxn L xx22221 xi) 2cov(yi ，yyi) var ( 011nxi-xLxx其中：i，yxi x1，y covyi， xi- x1，n xi - x yi，iyii i 1 Lxxixx1n， y- x covi n i 1 yi x22 xi x n-2i1L xx2xi xn xxLxx注：各个因变量 y1，y2yn是独立的随机变量var(X Y) var(X ) var(Y ) 2 cov( X ,Y )2.10 用第 9 题证明2ein- 2 是2 的无偏估计量证明： EnE n
11、-2i1yi yi1n-2i1var einn1- n- 2 i 121 xi-xn L xxn2n-22注： var(X ) E( X 2) E(X )2F2.11 验证 r F n 2证明：SSRFSSE(n 2)SSR *SSE(n 2) 所以有SSE (n 2)SSR FSSRSSTSSR 1SSR SSE 1 SSESSR1FFn2而不是只以上表达式说明 r 2与 F 等价，但我们要分别引入这两个统计量， 引入其中一个。理由如下：r 2与 F， n都有关，且当 n 较小时， r 较大，尤其当 n 趋向于 2 时，|r| 趋向于 1，说明 x 与 y 的相关程度很高；但当 n 趋向于
12、2 或等于 2 时，可能回归 方程并不能通过 F 的显著性检验，即可能 x 与 y 都不存在显著的线性关系。 所以， 仅凭 r 较大并不能断定 x 与 y 之间有密切的相关关系， 只有当样本量 n 较大时才 可以用样本相关系数 r 判定两变量间的相关程度的强弱。 F 检验检验是否存在显著的线性关系，相关系数的 显著性检验是判断回归直线与回归模型拟合的优劣， 只有二者结合起来， 才可以 更好的回归结果的好坏。2.12 如果把自变量观测值都乘以 2，回归参数的最小二乘法估计 ?0 和 ?1会发生什么变化？如果把自变量观测值都加上 2，回归参数的最小二乘估计 ?0 和 ?1会发 生什么变化？解:解法(一)：我们知道当 yi 0 1xi i ， E(yi ) 0 1x时，用最小二乘法估计的 ?0 和 ?1分别为当 xi 2xi 时有错误！未找到引用源将带入得到当 xi 2 xi 时 源。错误！未找到引用有错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源 将带入得到解法(二)：当 yi0 1xi i ， E(yi ) 0 1x时，有
