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1、流云教育 高中复习高中数学典型例题分析第七章 平面解析几何初步7.1直线和圆的方程一、知识导学1两点间的距离公式:不论A(1，1)，B(2，2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|21|或|AB|=|2-1|.2定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1，1)，B(2，2)，P(，)之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是.当P点为AB的中点时，=1，此时中点坐标公式是.3直线的倾斜
2、角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率与倾斜角之间的关系是=.4确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.名称方程说明适用条件斜截式为直线的斜率b为直线的纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式() 为直线上的已知点，为直线的斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=()，()是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1为直线的横截距b为直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零5两条直线的夹角。当两直线的斜率,都存
3、在且 -1时，=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线1， 2，有以下结论：12=，且1212= -1（2）对于直线1，2 ，当1，2，1，2都不为零时，有以下结论：12=1212+12 = 01与2相交1与2重合=7点到直线的距离公式.（1）已知一点P（）及一条直线：，则点P到直线的距离d=；（2）两平行直线1: ， 2: 之间的距离d=.8确定圆方
4、程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；（2）圆的一般方程：（0），圆心坐标为（-，-），半径为=.二、疑难知识导析1直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一直线：；圆：.一元二次方程（2）方法二直线: ；圆：，圆心（，b）到直线的距离为d=2两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为1，2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|1+2两圆外离；|O1O2|=1+2两圆外切；| 1-2|O1O2|1+2两圆相交；| O1O2 |=|1-2|两圆内切；0
5、| O1O2| 1-2|两圆内含.三、经典例题导讲例1直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解：设直线方程为:,又过P(2,3),求得a=5 直线方程为x+y-5=0.错因：直线方程的截距式: 的条件是:0且b0,本题忽略了这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:,直线方程为y=x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=x .例2已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3 化简3=x2-2x+1+y2-6y+9 . 当x0时得x2-5x
6、+y2-6y+10=0 . 当x0时得x2+ x+y2-6y+10=0 . 错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得(x-)2+(y-3)2 = 和 (x+)2+(y-3)2 = - 两个平方数之和不可能为负数,故方程的情况不会出现.正解：接前面的过程,方程化为(x-)2+(y-3)2 = ,方程化为(x+)2+(y-3)2 = - ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x-)2+(y-3)2 = (x0)例3m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）
7、y2+m+2=0的图象表示一个圆？错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， 当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C0且0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1) 当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.(2) 当m=-3时，方程为14x2+14
8、y2=1,即x2+y2=,原方程的图形表示圆.例4自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+70相切，求光线L所在的直线方程.错解：设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)，于是L过A(-3，-3).设L的斜率为k，则L的方程为y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)21，圆心O的坐标为(2，2)，半径r1因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r1即整理得12k2-25k+120解得kL的方程为y+3(x+3)即4x-3y+30因
9、L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30.错因：漏解正解：设反射光线为L,由于L和L关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A(-3，-3)，于是L过A(-3，-3).设L的斜率为k，则L的方程为y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)21，圆心O的坐标为(2，2)，半径r1因L和已知圆相切，则O到L的距离等于半径r1即整理得12k2-25k+120解得k或kL的方程为y+3(x+3);或y+3(x+3)。即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L关于x轴对称故L的方程为4x+3y+30或3x+4y-30.例5求过直线和圆
10、的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1） 过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是： 即：（1）因为圆过原点，所以，即故所求圆的方程为：.（2） 将圆系方程化为标准式，有：当其半径最小时，圆的面积最小，此时为所求.故满足条件的圆的方程是.点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.例6（06年辽宁理科）已知点A()，B()（0）是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足.设圆C的方程为（1）证明线段AB是圆C的直径；（2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为
11、时，求的值.解：（1）证明，（）2（）2，整理得：00设M（）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则0即0整理得：故线段AB是圆C的直径.（2）设圆C的圆心为C（），则，又0，0，04所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线的距离为，则当时，有最小值，由题设得2.四、典型习题导练1直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 （ ）A. B. C. D.2.已知直线x=a(a0)和圆(x-1)2+y2=4相切 ，那么a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.23. 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2，则的最大值为： .4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（a
12、9），C、D点所在直线l的斜率为.（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；（2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；（3）如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.解 （1）由(x-3)2+y2=9-a(a0)，由于A，B两点在抛物线上， 解出：r=，p=。得抛物线方程为y2=x。由此可知A点坐标为（1，1），且A点关于M(3，0)的对称点C的坐标是(5，-1)，直线l的方程为y -（-1）=(x-5)，即x-3y-8=0。（3）将圆
13、方程(x-3)2+y2=(2)2分别与AC、BD的直线方程：y= -(x-3)，y=2(x-3)联立，可解得A(-1，2)，B(5，4)。设抛物线方程为y2=a(x-m) (*)将A(-1，2)、B(5，4)的坐标代入(*)，得解得：a=2，m= -3，抛物线的方程为y2=2(x+3)。A(-1，2)点关于M(3，0)的对称点为C(7，-2)，故直线l的方程为y-(-2)=(x-7)，即x-3y-13=0。5.如图，已知圆C：（x+4）2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0).（1）若点D坐标为（0，3），求APB的正切值；（2）当点D在y轴上运动时，求APB的正切值的最大值；（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由.考点：
