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1、第1讲空间几何体【高考考情解读】柱、锥、台、球及其简单组合体和平面及其基本性质虽然没有单独考查，但作为立体几何最基本的要素是融入在解答题中考查的，它是立体几何的基本对于立体几何表面积和体积考查要求不高，一般以填空题为主1 棱柱、棱锥、棱台(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底
2、面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形(3)正棱台的性质侧面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直角梯形(4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系2 圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台(2)圆柱、圆
3、锥、圆台的性质轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圆3 球(1)球面与球的概念半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所成的曲面叫做球面以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球半圆的圆心叫做球的球心(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为d.4 空间几何体的两组常用公式(不要求记忆)(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)；S球表4R2(R为球的半径)(
4、2)柱体、锥体和球的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；V台(SS)h；V球R3.考点一几何体的表面积例1如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积 由题意，可知A在平面ABC内的射影D在BAC的角平分线上，从而可证得四边形BCCB是矩形解如图，过A作AD平面ABC于D，过D作DEAB于E，DFAC于F，连结AE，AF，AD.则由AAEAAF，AAAA，得RtAAERtAAF，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，BCAD，BCAA，而AABB，BC
5、BB，四边形BCCB是矩形，斜三棱柱的侧面积为2absin 45ab(1)ab.又斜三棱柱的底面积为2a2a2，斜三棱柱的表面积为(1)aba2. 此题构作辅助线的方法具有典型意义，记住这种作法，对解这一类问题有较大的帮助 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积解(1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1EO1O，因O1D13，OD6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，
6、D1D (cm)(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336) (cm2)，S表S侧S上S下3262 (cm2)故三棱台斜高为 cm，侧面积为 cm2，表面积为 cm2.考点二几何体的体积例2如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求四面体BB1DE的体积解方法一取BB1中点F，连结DF，EF，则V四面体BB1EDV锥B1DEFV锥BDEFB1FSDEFBFSDEFBB1SDEFa2a3.方法二取BB1中点F，连结DF，EF，则V四面体BB1DE2V锥B1DEF2V锥B1ABC2a3a3.方法三设A、D两点
7、到平面BCC1B1的距离分别为h、h，则hha.V锥DBB1EhSBB1EhS正方形BB1C1Caa2a3. 计算体积要注意几何体的割补，棱锥的性质以及选择适当的底面求出对应的高 (1)(2013江苏)如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.(2)(2012山东)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_答案(1)124(2)解析(1)设三棱锥FADE的高为h，则.(2)利用三棱锥的体积公式直接求解VD1
8、EDFVFDD1ESD1DEAB111.考点三多面体与球例3直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_ (1)先求截面圆ABC的半径r；(2)再求三棱柱外接球的半径答案20解析在ABC中，由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcos 1204422212，BC2.由正弦定理知ABC的外接圆半径r满足2r，r2.由题意知球心到平面ABC的距离为1，设球的半径为R，则R，S球4R220. 对于多面体与球的问题，考查比较多的是多面体和它的外接球问题破解这类问题的核心是找准截面，建立球半径与多面体棱之间的联系 已知矩形ABCD的顶点都在半径
9、为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_答案8解析依题意棱锥OABCD的四条侧棱长相等且均为球O的半径，如图连结AC，取AC中点O，连结OO.易知AC4，故AO2.在RtOAO中，OA4，从而OO2.所以VOABCD2628.考点四空间几何体的折叠问题例4如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为_ 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角
10、形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可答案解析如图，取BD的中点E，BC的中点O，连结AE，OD，EO，AO.由题意，知ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，AEBD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以OA.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.所以该球的体积V()3. 解决折叠问题的关键是搞清楚处在折线同一个半平面的量是不变的，然后根据翻折前后图形及数量关系的变化，借助立体与平面几何知识，即可求解 如图，把边长为2的
11、正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC.(1)求证：面ABEF面BCDE；(2)求五面体ABCDEF的体积(1)证明设原正六边形中，ACBEO，DFBEO，由正六边形的几何性质可知OAOC，ACBE，DFBE.在五面体ABCDEF中，OA2OC26AC2，OAOC，又OAOB，OA面BCDE.OA面ABEF，面ABEF面BCDE.(2)解由BEOA，BEOC知BE面AOC，同理BE面FOD，面AOC面FOD，故AOCFOD是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥BAOC和EFOD为大小相同的三棱锥，VABCDEF2VBAOCVAOCFOD2()21()224.1 在理解棱柱、棱锥的概念基础
12、上，掌握棱柱、棱锥的结构特征：熟记特殊棱柱、棱锥的有关性质；能够把棱柱、棱锥的有关元素放在对角面、侧面等平面图形中去研究，突出化归的数学思想方法2 长方体的外接球(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2R；(2)棱长为a的正方体的体对角线等于外接球的直径，即a2R.3 求与球有关组合体表面积、体积等问题时，常常把球中的问题，转化成相应的轴截面来处理，有时还要利用圆的有关性质、正弦定理和余弦定理来解决球的问题4 一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方
13、法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解).1 在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为，则三棱锥ABCD的外接球体积为_答案解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长据题意解得长方体的对角线长为，三棱锥外接球的半径为.三棱锥外接球的体积为V()3.2 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_答案解析如图，过A，B两点分别作AM，BN垂直于EF，垂足分别为M，N，连结DM，CN，可证得DMEF，CNEF，多面体ABCDEF分别为三部分，多面体的体积为VABCDEFVAMDBNCVEAMDVFBNC.NF，BF1，BN.作NH垂直BC于点H，则H为BC的中点，则NH.SBNCBCNH1.VFBNCSBNCNF，VEAMDVFBNC，VAMDBNCS
