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1、高二数学(抛物线的简单几何性质(3)本文由手撑青天贡献 ppt文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 高二数学选修2-1 高二数学选修 抛物线的简单几何性质 第三课时 直 线 与 抛 物 线 的 关 系 已知抛物线y 过定点A(-2, 1)的 例1.已知抛物线 2=4x,过定点 已知抛物线 过定点 的 直线l的斜率为 下列情况下分别求 直线 的斜率为k,下列情况下分别求 的 的斜率为 下列情况下分别求k的 取值范围： 取值范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 与抛物线有且仅有一个公共点； 与抛物线有且仅有一个公共点 2. l与抛物线恰有两个公共点
2、； 与抛物线恰有两个公共点； 与抛物线恰有两个公共点 3. l与抛物线没有公共点 与抛物线没有公共点. 与抛物线没有公共点 归纳方法： 归纳方法： 1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程； 联立方程组，并化为关于 或 的一元方程； 联立方程组 的一元方程 2.考察二次项的系数是否为 ， 考察二次项的系数是否为0， 考察二次项的系数是否为 若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 若为 ，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； 直线与抛物线有且仅有一个交点； 若不为0，则进入下一步. 若不为 ，则进入下一步 3.考察判别式 考察判别式 直线与抛物线相离. 0 直线与抛物线相
3、交； 已知抛物线： 直线l:2xy+4=0, 例2.已知抛物线：y2=4x,直线 已知抛物线 直线 求抛物线上的点P到直线 的最短距离. 到直线l的最短距离 求抛物线上的点 到直线 的最短距离 法1：利用点到直线距离公式 ： 法2：平移至相切 ： y l l1 7 5 10 O F x 例3.设坐标原点为O，抛物线y = 2 x 2 与过焦点的直线交于A、B两点，则 3 uuu uuu r r ? OA ? OB = . 4 若直线l 过点定点(a,0),则 直线l 可设 为：x=my+a, 其中m = cot,为直线的倾斜角 l . 例4. 若直线y = kx + b与抛物线x = 4 y
4、相交于A、B两点，且| AB|= 4, 2 (1) 试用k 来表示b; ( 2) 求弦AB中点M 离x轴的最短距离. y B A o x 解 直 AB: y = kx+ b, A(x1, y1)、 (x2 , y2 ), ： 设 线 B x1 + x2 = 4k, x1x2 = ?4b. 1+ k ? (x1 + x2 ) ? 4x1x2 = 4 1 2 化 得 = 简 b ?k . 2 1+ k 2 2 y = kx + b 由? 2 消 y, 去 ?x = 4y 2 得 ? 4kx ? 4b = 0. x y B B A A o x (2)显 点 到 轴 然 M x 的距 为 离 该点 坐
5、 纵 标的 对 绝 值， 由 0,故| y |= y. y y1 + y2 y = 2 A A kx1 + b + kx2 + b k(x1 + x2 ) + 2b = = 2 2 2 = 2k + b 2 y M B B o x 1 1 2 = k +1+ ?1 2 k +1? ?1 =1 2 2 1+ k 1+ k 1 2 当且仅当 =1+ k ,即k = 0时“ ”号成立 = . 2 1+ k 例 5.如图 ，直线 与 l 抛物线 = x交 y 于 2 A x1,y1)、B x2,y2 )两点 ( ( ，与x轴交于 点M， y1 y2 = ?1. 且 (1)求证： 点 M 的坐标 (1,
6、 0). 为 (2)求证 OA OB. ： (3)求 AOB 的面 积的最 小值 . 1 例6.过抛物线y = 2x 的顶点作两条互相 2 垂直的弦OA OB 、 ，求证：直线AB与x轴 的交点为定点. 结 ： 论 过 物 y = 2 px 的 点 两 互 抛 线 顶 作 条 相 2 垂 的 OA OB 则 线 与 轴 直 弦 、 ， 直 AB x 交 于 点 2p,0). 定 （ 典例讲评 为抛物线y 上两动点， 例7.点A、B为抛物线 24x上两动点， 7.点 、 为抛物线 上两动点 O为原点，且OAOB，求线段 的 为原点， 为原点 ，求线段AB的 中点M的轨迹方程. 中点 的轨迹方程.
7、 的轨迹方程 y A M O B x y = 2(x - 4) 2 归纳总结 求动点的轨迹方程 1.直接法 直接法： 1.直接法： 建设限代化. 设 限 代 化 2.定义法： 2.定义法： 定义法 挖掘几何条件指出轨迹类型 挖掘几何条件 写出轨迹方程. 写出轨迹方程. 3.参数法： 3.参数法： 参数法 设动点坐标选相关参数 设动点坐标选相关参数建立参数方程 消去参数得普通方程作出结论. 消去参数得普通方程作出结论. 练习 2y,过 1. 已知抛物线x = 2y, 过点 2 Q(0,-2)作 Q(0,-2)作一直线交抛物线于A、B AB中 两点，试求弦AB中点的轨迹方程. 2 y = x ?
8、2(x 2). 2.已知ABC的三个顶点都在抛物线 y = 32x上，顶点A(2,8),三角形的重 心恰好是抛物线的焦点，求BC所在直 线方程. 2 4x + y ? 40 = 0. 3. 已知抛物线 2=8x，F是其焦点，过 已知抛物线y 是其焦点， ， 是其焦点 F的倾斜角为 的倾斜角为 锐角)的直线交抛物线于 锐角 (锐角 的直线交抛物线于 A、B,线段 的中垂线交 轴于点 ， 线段AB的中垂线交 轴于点P， 线段 的中垂线交x轴于点 求证： 为定值. 求证：|FP| |FP|cos 2为定值 x y + = 1，在椭圆上任取 已知椭圆 36 27 三个不同点P 使得 三个不同点 1、P
9、2、P3，使得P1FP2 =P2FP3=P3FP1(F为右焦点 为右焦点). 为右焦点 1 1 1 求证： 为定值， 求证： 为定值，并求 + + | P F | | PF2 | | PF3 | 1 2 2 出该值. 出该值 已知中心在原点坐标轴为对称轴的椭圆的离 2 心率为 ，以该椭圆上一点和其左右焦点 2 F1、F2为顶点的三角形的周长是 4( 2 + 1)， 一条等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， 一条等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P是双曲线上异于顶点的任一点，直线 是双曲线上异于顶点的任一点， 是双曲线上异于顶点的任一点 PF1、PF2与椭圆分别交于A、B和C、D. 与椭圆分别交于A B和 (1)求椭圆和双曲线的方程； 求椭圆和双曲线的方程； 求椭圆和双曲线的方程 (2)设直线 1、PF2的斜率分别是 1、k2 设直线PF 的斜率分别是k 设直线 求证:k 求证 1k2=1 1 1 + (3) 求证： 求证： 为定值. 为定值 | AB | | CD |1
