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1、1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程 ；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3
2、+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 2、（a+b）3展开式的再认识 问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C C=3次，所以a2b的系数是3。问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C a3 Cb（3）四个括号中
3、有2个取a，剩下的2个取b，得：C a2 Cb2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C a Cb3（5）四个括号中全都取b，得：C b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C a4；（2）取1个b：C a3b；（3）取2个b：C a2 b2；（4）取3个b：C ab3；（5）取4个b：C b4，然后将上面各式相加得到展开式。结论：（a+b）4= C a4+ C a3b+ C a2 b2+ C ab3+ Cb4三、形成定理，说理证明问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？合作探究2: (1) 将（a+b）n展开有多少项？（2
4、）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？（4）如何确定“a”、“b”的系数？猜想：证明：对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，（1）不取b：C an；（2）取1个b：C an-1b；（3）取2个b：C an-2b2；（k+1）取k个b：C an-kbk；(n+1)取n个b：C bn；然后将这n+1个式子加起来，就得到二项展开式，(a+b)n=an+an-1b+an-kbk+bn(nN+)这就是二项式定理。四、熟悉定理，简单应用二项式定理的公式特征（由学生归纳，让学生熟悉公式）（1）项数：共有n+1项；（2）次数：字母a按降幂排列，次数由
5、n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；（4）通项:Tk+1= C an-kbk；指的是第k+1项，该项的二项式系数为C；（5）公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做（ab）n的二项展开式。例1 求的展开式分析：为了方便，可以先化简后展开。例2 的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。求的展开式中含的系数。五、当堂检测 1.写出（p+q）7的展开式；2.求（2a+3b）6的展开式的第3项；3.写出的展开式的第r+1项；4.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（ ）（A） (B) (C) (D) 答案：1.（p+q）7=p7+7
6、p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.六、课堂小结1. 公式： 2. 思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式. （2）用计数原理分析二项式的展开过程.七、布置作业课本43页习题1.3 A组 2、31.3.1 二项式定理课前预习学案一、预习目标通过分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征并能简单应用。二、预习内容1、（a+b）2= （a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)=_ （a+b）3= （a+b）4= 2、二项式定理的证明过程3、（a+b）n= 4、（a+b）n的二项展开式中共有_项，其中各项的系数_叫做二项式
7、系数，式中的_叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：_5、在二项式定理中，若a=1，b=x，则有（1+x）n=_三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.用计数原理分析（a+b）3的展开式，进而探究（a+b）4的展开式，从而猜想二项式定理。2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。3. 培养学生观察、分析、概括的能力。二、学习重难点：教学重点：二项式定理的内容及应用教学难点：二项式定理的推导过程及内涵三、学习过程（一）探究（a+b）3、（a+b）4的展开式问题1：（a1+ b1
8、）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究一：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？结论：（a+b）4= C a4+ C a3b+ C a2 b2+ C ab3+ Cb4（二）猜想、证明“二项式定理”问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？合作探究二: (1) 将（a+b）n展开有多少项？（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？（4）如何确定“a”、“b”的系数？二项
9、式定理：(a+b)n=an+an-1b+an-kbk+bn(nN+)（三）归纳小结：二项式定理的公式特征（1）项数：_;（2）次数：字母a按降幂排列，次数由_递减到_；字母b按升幂排列，次数由_递增到_；（3）二项式系数：下标为_，上标由_递增至_；（4）通项:Tk+1=_；指的是第k+1项，该项的二项式系数为_；（5）公式所表示的定理叫_，右边的多项式叫做（ab）n的二项展开式。（四）典型例题例1 求的展开式分析：为了方便，可以先化简后展开。例2 的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。求的展开式中含的系数。（五）当堂检测1.写出（p+q）7的展开式；2.求（2a+3b）6的展开式的第3
10、项；3.写出的展开式的第r+1项；4.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（ ）（A） (B) (C) (D) 课后练习与提高1在的展开式中，的系数为（ ） A B C D2已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为112，则n是（ ）A10 B11 C12 D133展开式中的系数是 4. 的展开式中常数项为 5. 的展开式中，含项的系数是 .6. 若的展开式中前的系数是9900，求实数的值。答案：1.D； 2.C； 3； 4.; 5.207 ； 6. a=1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质【教学目标】1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2能运用函数
11、观点分析处理二项式系数的性质；3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。【教学过程】一、复习引入1、二项式定理：_； 二项式系数：_； 2、( 1+x) n=_；二、杨辉三角的来历及规律练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式： (a+b)1 1 1 (a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1 (a+b)51 5 10 10 5 1 (a+b)61 6 15 20 15 6
12、 1 爱国教育，杨辉三角 因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？蕴含规律：1、同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；2、相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。3、设表中任一不为1的数为C，那么它肩上的两个数分别为C及C，即C= C+C，对于( a+b) n展开式的二项式系数，
