《2022初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑹》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑹（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初一数学竞赛讲座第6讲 图形与面积一、直线图形面积在小学数学中我们学习了几种简朴图形面积计算措施，数学竞赛中面积问题不仅具有直观性，并且变换精致，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。图形面积是图形所占平面某些大小度量。它有如下两条性质：1两个可以完全重叠图形面积相等；2图形被提成若干某些时，各某些面积之和等于图形面积。对图形面积计算，某些重要面积公式应当熟记。如：正方形面积=边长边长；矩形面积=长宽；平行四边形面积=底高；三角形面积=底高2；梯形面积=（上底+下底）高2。此外，如下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。1等腰三角形底边上高线平分三角形面积；2三角形一边上中线平分这个三角
2、形面积；3平行四边形对角线平分它面积；4等底等高两个三角形面积相等。解决图形面积重要措施有：1观测图形，分析图形，找出图形中所涉及基本图形；2对某些图形，在保持其面积不变条件下变化其形状或位置（叫做等积变形）；3作出恰当辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4把图形进行割补（叫做割补法）。例1 你会用几种不同措施把一种三角形面积平均提成4等份吗？解：最容易想到是将ABC底边4等分，如左下图构成4个小三角形，面积都为本来三角形面积。此外，先将三角形ABC面积2等分（如右上图），即取BC中点D，连接AD，则SABD=SADC，然后再将这两个小三角形分别2等分，分得4个小三角形各自面积为本来大三角形面积。还有
3、许多措施，如下面三种。请你再想出几种不同措施。例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF面积是多少平方厘米？分析：解决此类问题常用割补法，把图形提成几种简朴容易求出面积图形，分别求出面积。也可以求出六边形外空白处面积，从总面积中减去空白处面积，就是六边形面积。解法1：把六边形提成6块：ABC，AGF，PEF，EKD，CDH和正方形GHKP。用S体现三角形面积，如用SABC体现ABC面积。故六边形ABCDEF面积等于6+2+1+4+9=阐明：当某些图形面积不容易直接计算时，可以把这个图形提成几种某些，计算各某些面积，然后相加，也就是说，可以化整为零。解法2：先求出大正方形MN
4、RQ面积为66=36（cm2）。阐明：当某些图形面积不易直接计算时，可以先求出一种比它更大图形面积，再减去比原图形多那些（个）图形面积，也就是说，先多算一点，再把多算某些减去。解法3：六边形面积等于SABC+S梯形ACDF-SDEF=62+（3+6）4-31=6+18-1=阐明：“横当作岭侧成峰，远近高下各不同”，从不同角度去观测同一种图形，会对图形产生不同结识。一种新结识产生往往会随着着一种新解法。做题时多想一想，解法就会多起来，这对锻炼我们观测能力与思考能力大有益处。例3 如下图所示，BD，CF将长方形ABCD提成4块，DEF面积是4cm2，CED面积是6cm2。问：四边形ABEF面积是多
5、少平方厘米？解：如下图，连结BF。则BDF与CFD面积相等，减去共同某些DEF，可得BEF与CED面积相等，等于6cm2。四边形ABEF面积等于SABD-SDEF=SBDC-SDEF=SBCE+SCDE-SDEF=9+6-4=11（cm2）。问：两块红色图形面积和与两块蓝色图形面积和，哪个大？分析：只需比较ACE与BDF面积大小。因为ACE与BDF高相等（都是CD），因此只需比较两个三角形底AE与BF大小。由于ACE与BDF高相等，因此SACESBDF。减去中间空白小四边形面积，推知两块红色图形面积和不不不小于两块蓝色图形面积和。例5 在四边形ABCD中（见左下图），线段BC长6cm，ABC为
6、直角，BCD为135，并且点A到边CD垂线段AE长为12cm，线段ED长为5cm，求四边形ABCD面积。解：延长AB，DC相交于F（见右上图），则BCF=45，FBC=90，从而BFC=45。由于BFC=BCF，因此BF=BC=6（cm）。在RtAEF中，AFE=45，因此FAE=90-45=45，从而EF=AE=12（cm）。故S四边形ABCD=SADF-SBCF=102-18=84（cm2）。阐明：如果一种图形面积不易直接求出来，可根据图形特性和题设条件特点，添补恰当图形，使它成为一种新易求出面积图形，然后运用新图形面积减去所添补图形面积，求出原图形面积。这种运用“补形法”求图形面积问题在
7、国内外初中、小学数学竞赛中已屡见不鲜。例6 正六边形ABCDEF面积是6cm2，M，N，P分别是所在边中点（如上图）。问：三角形MNP面积是多少平方厘米？解法1：如左下图，将正六边形提成6个面积为正1cm2正三角形，将此外三个面积为1cm2正三角形分别拼在边BC，DE，AF外面，得到一种大正三角形XYZ，其面积是9cm2。这时，M，N，P分别是边ZX，YZ，Xy中点，推知解法2：如右上图，将正六边形提成6个面积为1cm2正三角形，再取它们各边中点将每个正三角形分为4个面积为小正三角形。于是正六边形ABCDEF被提成了24个面积为小正三角形。由于MNP由9个面积为小正三角形所构成，因此SMNP=
8、9=2.25（cm2）二、圆与组合图形以上我们讨论了有关直线图形面积计算种种措施。目前我们继续讨论波及圆面积计算。1圆周长与面积计算圆周长与面积，有直接运用公式计算，有需要通过观测分析后灵活运用公式计算。重要公式有：（1）圆周长=直径=2半径，即C=d=2r；（2）中心角为n弧长度=n（半径）180，即1=（3）圆面积=（半径）2，即S=r2；（4）中心角为n扇形面积=n（半径）2360，即例7 右图是三个半圆（单位：cm），其阴影某些周长是多少？解：由图可知，阴影某些是由三个直径不同半圆周所围成，因此其周长为阐明：事实上，该图形中两个小半圆直径之和等于大半圆直径，因而它们周长也正好等于大半圆
9、半圆周。推而广之，若n个小圆直径之和等于大圆直径，即：d1+d2+d3+dn=D，那么这些小圆周长之和也等于大圆周长，即d1+d2+d3+dn=（d1+d2+d3+dn）=D。例8 某开发区大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影某些）三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则哪一种标点符号油漆用得多？哪一种标点符号油漆用得少？分析：在均匀用料情形下，油漆用量多少问题可转化为阴影某些面积大小问题。目前波及到基本图形是圆，弄清阴影某些如何由大小圆分割、组合而成，是解该题核心点和突破口。解：由于S句号=S大圆-S小圆=R2-r2=（2r）2-r2=3r
10、2阐明：留意我们寻常生活，不同于课本“非常规”问题随处可见，如何把“非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题，需要细心观测、积极思考，考察转化也许性和转化途径。像上例那样，认真分析图形特性和课本图形基本关系，进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。2圆与组合图形在寻常生活中，除了常常遇到直线型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲线型（如圆、扇形等）面积外，还常常遇到不同形状图形叠加而成组合图形面积问题。组合图形面积计算，可以根据几何图形特性，通过度割、割补、平移、翻折、对称、旋转等措施，化复杂为简朴，变组合图形为基本图形加减组合。例9 下图中，ABCD是边长为a正方形，分别以A
11、B，BC，CD，DA为直径画半圆。求这四个半圆弧所围成阴影某些面积。解：图中阴影某些是由四个半圆重叠某些构成，这四个半圆直径围成一种正方形。显然，这四个半圆面积之和不不不小于正方形面积，两者差就是阴影某些面积。因此，我们就得到如下算式：阐明：此例除了用上面解法外，还可以采用列方程解应用题措施来解。如题图，设x和y分别体现相应某些面积，由图看出 例10 如左下图所示，平行四边形长边是6cm，短边是3cm，高是2.6cm，求图中阴影某些面积。分析：本题图形比较复杂，我们可以先计算阴影某些一半（见右上图）。我们目旳是把图形分解成若干基本图形组合或叠合。本题中基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形
12、。仔细观测后得出结论：右上图中阴影某些等于阐明：求一种不规则图形面积，要设法找出它与规则图形面积关系，化不规则为规则。例11 求右图中阴影某些面积（单位：cm）。分析与解：本题可以采用一般措施，也就是分别计算两块阴影某些面积，再加起来，但不如整体考虑好。我们可以运用翻折措施，将左上角一块阴影某些（弓形）翻折到半圆右上角（如下图中虚线为折痕），把两块阴影某些合在一起，构成一种梯形（如右图所示），这样计算就很容易。本题也可看做将左上角弓形绕圆心旋转90，达到右上角，得到同样一种梯形。阐明：当某些图形面积不易直接计算时，可以把这个图形各个某些恰当拼接成一种易于直接计算图形。也就是说，可以化零为整。上
13、述解法运用翻折（或旋转）措施达到了化零为整目。例12 已知右图中正方形面积是12cm2，求图中里外两个圆面积。分析：计算圆面积，要懂得半径。先考虑内圆面积。内圆直径与正方形边长相等，但正方形边长是未知。根据已知正方形面积是12cm2，可以推出内圆直径平方为12cm2，再求内圆面积就不难了。外圆直径是正方形对角线，设外圆半径为R，则正方形面积等于由一条对角线提成两个等腰直角三角形面积之和。再由正方形面积=2RR22=2R2，2R2=12，便可求出外圆面积。解：设内圆半径为r，由正方形面积为12cm2，正方形边长为2r，得（2r）2=12，r2=3。内圆面积为r2=3.143=9.42（cm2）。
14、正方形面积=2个等腰直角三角形面积=，得R2=6，外圆面积为R2=3.146=18.84（cm2）。练习61如右图所示，正方形面积是50cm2，三角形ABC两条直角边中，长边是短边2.5倍，求三角形ABC面积。2如右下图所示，长方形ABCD中，AB=24cm，BC=36cm，E是BC中点，F，G分别是AB，CD4等分点，H为AD上任意一点。求阴影某些面积。3在右图47方格纸板上画有如阴影所示“6”字，阴影边沿是线段或圆孤。问：阴影面积占纸板面积几分之几？4在右下图中，六边形ABCDEF面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ面积。5在右图中，涂阴影某些小正六角星形面积是16cm2。问：大正六角星形面积是多少平方厘米？6一种周长是56cm大长方形，按右面图1与图2所示那样，划分为4个小长方形。在图1中小长方形面积比是AB=12，BC=12。而在图2中相
