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1、第四章 印度与阿拉伯数学4.1 印度数学1921-1922年间，印度河流域莫亨佐达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”（注：印度河发源于西藏高原，流经喜马拉雅山与喀拉昆仑山两山脉之间，流向西南而贯穿喜马拉雅山，右岸交会喀布尔河，左岸汇流旁遮普(五河之意，外族多经此地入侵印度)地方之诸支流，经巴基斯坦而入阿拉伯海五河之地乃古印度文化之据点）这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右大约到了公元前2000年纪中叶，操印欧语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振(注：雅利安
2、人（Aryans）是欧洲19世纪文献中对印欧语系各族的总称从印度和波斯古文献的比较和研究中推知，远古在中亚地区曾有一个自称“雅利阿”（Arya）的部落集团，从事畜牧，擅长骑射，有父系氏族组织，崇拜多神公元前2000至前1000年间，一支南下定居印度河上游流域，一支向西南进入波斯，另一支迁入小亚细亚自18世纪欧洲语言学界发现梵语同希腊语、拉丁语、克尔特语、日尔曼语、斯拉夫语等有共同点后，即用“雅利安语”一词概括这些语言现通称印欧语系语言)印度历史上曾出现过强盛独立的王朝，如孔雀王朝(公元前324-前185，因国王旃（zhn）陀罗笈多出自一个养孔雀的家族而得名)、笈多王朝(320-540)，但总体
3、而言，整个古代与中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下公元前6世纪，波斯帝国将印度变为它的辖区；公元前327年，亚历山大大帝赶走了波斯人，在这里建立了马其顿人的莫尔雅帝国；大月氏人又曾将印度并入贵霜帝国的版图(1-3世纪)（注：读作“月支”，“氏”古音读作“支”月氏人早期以游牧为生，住在北亚，并经常与匈奴发生冲突，其后西迁至中亚，称为大月氏留在河西走廊的小部分残众与祁连山间羌族混合，号称小月氏）公元5世纪以后，印度更是先后遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占这种多民族的交替入侵，使古代的印度文化包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背景如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么
4、古代印度数学则更多地受到其宗教的影响雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000-前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪-前3世纪)；其次是悉檀多时期(5-12世纪)4.1.1 古代绳法经由于达罗毗荼人的象形文字至今不能解读，所以对这一时期印度数学的实际情况了解得很少印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典吠陀当中，年代很不确定“吠陀”即梵文veda，原意为知
5、识、光明吠陀内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上不同流派的吠陀大都失传，目前流传下来仅有7种这些吠陀中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分测绳的法规，即绳法经，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品，其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值：此外还用到和的近似值在关于正方形祭坛的计算中取由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题，印度人用算术方法给出了求解公式耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部
6、分构成，流传下来的原始经典较少，不过有一些公元前5世纪-2世纪的注释其中出现了许多计算公式，如圆周长，弧长等4.1.2 “巴克沙利手稿”关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程特别值得注意的是手稿中使用了一些数学符号，如减号，状如今天的加号，“12-7”记成“12 7+”巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码
7、，其中用点表示0：表示零的点号后来逐渐演变为圆圈，即现在通用的“0”号，这一过程至迟于公元9世纪已完成有一块公元876年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜廖尔城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的数“0”瓜廖尔数系为：用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算“0”作为记数法中的空位，在位值制记数的文明中不可缺少，只不过不同的文明采取了不同的表示方法早期巴比伦楔形文书和宋元以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号后来(公元前3世纪)巴比伦人引进了一个
8、专门记号表示空位，玛雅20进制记数中也有表示空位的零号(形状像一只贝壳或眼睛)，但无论是巴比伦还是玛雅的零号都仅仅用来表示空位而没有其他功能，更不被看作是一个单独的数印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号到公元11世纪，包括有零号的印度数码和十进位值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把“0”看作记数法中的空位，而且也视其为可施行运算的一个特殊的数婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦罗的著作中都有关于零的运算的记述 印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契算经中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍印度数码和十进位值制记数法
9、被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色当然关于印度零号的来源，学术界尚在探讨，但无论如何，零号的发明是对世界文明的杰出贡献4.1.3 “悉檀多时期的印度数学”悉檀多(梵文siddhanta，原为佛教因明【指古印度的逻辑学】术语，可意译为“宗”，或“体系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多、婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦罗等（一）阿耶波多阿耶波多(Aryabhata，476-约550)是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作阿耶波多历数书(499)传世该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一
10、次不定方程的解法阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应(见图)成为今天的习惯同时他以半径的作为度量弧的单位，实际是弧度制度量的开始他还给出了第一象限内间隔为345的正弦差值表印度第个正弦表是在年代距阿耶波多不远的天文著作苏利耶历数全书(佚名，约5世纪)中出现的阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法(二)婆罗摩笈多婆罗摩笈多(Brahmagupta，598-665)的两部天文著作婆罗摩修正体系(628)和肯德卡迪亚格(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵他已明确把0作为一个数来处理，婆
11、罗摩修正体系中比较完整地叙述了零的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零零除以零是空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的分数”最后这句话是印度人提出以零为除数问题的最早记录婆罗摩笈多将零作为一个数进行运算的思想，被后来的印度数学家所追随，9世纪马哈维拉和施里德哈勒都接受了这一传统婆罗摩笈多对负数也有明确的认识，提出了正负数的乘除法则他曾利用色彩名称来作为未知数的符号，并给出二次方程的求根公式婆罗摩笈多最突出的贡献是给出今天所谓佩尔(Pell)方程(是非平方数)的一种特殊解法，名为“瓦格布拉蒂” 婆罗摩笈多在肯德卡迪亚格中利用二次插值法
12、构造了间隔为15的正弦函数表，给出下面的插值公式：婆罗摩笈多在几何方面的杰出成果是获得了边长为的四边形的面积公式： ，其中. 实际上，这一公式仅适合于圆内接四边形，婆罗摩笈多并未认识到这一点后来马哈维拉由这一公式出发，将三角形视为有一边为0的四边形，从而获得海伦公式12世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出过质疑(三)马哈维拉7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生了改变耆那教徒马哈维拉(Mahavira，9世纪)的计算方法纲要可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1)算术术语；(2)算术运算
13、；(3)分数运算；(4)各种计算问题；(5)三率法(即比例)问题；(6)混合运算；(7)面积计算；(8)土方工程计算；(9)测影计算，基本是对以往数学内容的总结和推广书中给出了一般性的组合数公式，而且给出椭圆周长近似公式：因其有很多问题和方法与中国九章算术相同或相近，从而有人认为他受到过九章算术或中国其他算书的影响 与马哈维拉同时代的施里德哈勒(Sridhara，9世纪)撰写的计算概要也是一本日用数学著作，内容基本与马哈维拉的计算方法纲要一致(四)婆什迦罗婆什迦罗(Bhaskara，1114-约1185)是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作他有两本代表印度古代
14、数学最高水平的著作莉拉沃蒂)和算法本源，天文著作有天球和天文系统之冠关于莉拉沃蒂书名，有一个美丽动人的传说：莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字，占星家预言她终身不能结婚也是占星家的婆什迦罗为女儿预占吉日，他把一个底部有孔的杯子放入水中，让水从孔中慢慢渗入，杯子沉没之时，也就是他女儿的吉日来临之际女儿带着好奇观看这只待沉的杯子，不想颈项上一颗珍珠落入杯中，正好堵塞了漏水的小孔，杯子停止了继续下沉，这样注定莉拉沃蒂永不能出嫁婆什迦罗为了安慰女儿，把他所写的算书以她的名字命名，以使她的名字随同这本书一起流芳百世该书后来在莫卧儿帝国（1526-1858年统治南亚次大陆绝大部分地区的伊斯兰教封建王朝）的帝王阿
15、克巴(Akbar，1556-1605在位)的授意下，由菲济(Fyzi)译成波斯文这个传说来源于菲济的记载莉拉沃蒂共有13章：第1章给出算学中的名词术语；第2章是关于整数、分数的运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第3章论各种计算法则和技巧；第4章关于利率等方面的应用题；第5 章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第6章关于平面图形的度量计算；第7至10章关于立体几何的度量计算；第11章为测量问题；第12章是代数问题，包括不定方程；第13章是一些组合问题该书中很多数学问题是用歌谣的形式给出算法本源则主要是算术和代数著作，其中包括有零的运算法则的完整论述，特别是对零作除数的问题给出了有意义的解释，认为分母为零的分数“表示一个无限大量”婆什迦罗和其他印度数学家一样，对不定方程持有特别的兴趣，除对“库塔卡”问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法婆什迦罗能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式，在解二次方程中能够认识并广泛使用无理数，讨论了形如和的无理数的平方根由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点与算术和代数相比，印度人在几何方面的
