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1、第三章 多自由度系统3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。m1m2m3K5K6 K1K2K3K4图解：（1）系统自由度、广义坐标图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标；（2）系统运动微分方程根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：整理如下写成矩阵形式（1）（3）系统特征方程设代入系统运动微分方程（1）得系统特征方程（2） （4）系统频率方程 系统特征方程（2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，即 展开得系统频率方程进一步计算得 (3)其中 求解方程（3）得系统固有频率 （4）（5）系统固有振型 将系统固有频率代入系统特征方程（2）得系统固有振型，即
2、各阶振型之比： （5）（6）系统振动方程 （6）在方程（6）中含有6个待定常数：、和。它们由初始条件、和确定。3.2若.题中m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，求该系统的固有频率和固有振型。解：若m1=m3=m，m2=2m，,K1=K4=K，K2=K3=2K，K5=K6=3K，则 系统频率方程（3）成为化简3.3求图3-11所示的三垂摆作微振动的固有频率和固有振型。解：（1）系统自由度、广义坐标图3-11所示的三垂摆系统自由度N=3，广义坐标取、和； o x（2）系统中A、B、C三质点的坐标 L A m L （2）系统中A、B、C三质点的速度 B
3、m L y C m 图 （3）系统中A、B、C三质点的动能 因为对于微振动有；（4）系统中A、B、C三质点的势能；(5) L=T-V;根据拉格朗日定理： 得：（1） 求固有频率和固有振型：；解得固有频率：固有振型：；3.4两端由弹簧支撑的刚性均质杆，质量均为没，在B处用铰链连接，如图3-12所示，如选取B点的竖直位移y和两杆绕B点的转角为广义坐标，试从特征方程出发，求系统的固有频率和固有振型。xyABCkkkll图 3-12（1）AB杆的动能： ；AB杆的势能：；（2）BC杆的动能：；BC杆的势能：；（3）三根弹簧的势能：；（4）；由拉格朗日方程可得：；令 ；（5）由 令 解得： 固有频率：；
4、固有振型：3.5试求图3-13所示系统的振动方程，并求其固有频率和固有振型。I3I3K1K2K3I2解：（1）以为广义坐标，建立系统的运动微分方程：系统的动能：系统的势能：图 3-13；L=T-V；由拉格朗日方程得：（2）当 时可得固有频率：固有振型：3.6图3-14所示的两均质杆是等长的，但具有不同的质量，试求系统作微振动的振动方程，若，试求系统的固有频率和固有振型（设选取两杆的转角和为广义坐标，其中以顺时针方向为正，以逆时针方向为正）。m1k1m2k2图 3-14解：（1）系统的动能：（2）系统的势能：(3)建立系统的运动微分方程：由拉格朗日方程 由条件，将上述方程整理得：；从系统的特征方
5、程解得固有频率 ；固有振型3.7试从矩阵方程出发，左乘，利用正交关系证明 i=1，2，n其中n为系统自由度数。解：由式 可得：；由正交关系可知：结论得证.3.8图3-15中简支梁有三个置于它的四分之一点处的质量。试以微小的平动作为位移坐标，梁的自重忽略不计，其弯曲刚度为EI。假设，求系统的固有频率和固有振型，对振型规范化并画出各阶振型。图3-15yx解：（1）表示在点作用单位力而在点产生的挠度。利用图乘法可得：同理： ； ； ； ；（2）以各小竖向位移为广义坐标，建立系统的运动微分方程：整理成矩阵形式：；固有频率：固有振型：正规化：各阶振型图：11.41421 振型 11-1振型 211-1.
6、4142振型 33.9一轻型飞行器的水平稳定器被简化为3个集中质量系统的模型，见图3-16，其刚度、质量矩阵和固有频率及模态形状已经求出。若飞行器遇到一突然的阵风，其产生的阶跃力为其中是单位阶跃力，如图3-16。（） 确定模态响应表达式，假设；（） 确定响应的表达式，并指出个模态的贡献。其中V1P1V2P2V3P3f (t)t1图3-16解：（1）进行坐标变换：（2）3.10一栋三层楼房，如图3-17，其刚度、质量矩阵和固有频率及振型如下：u1u3u2m3=2m1=1m3=2k3=2400k2=1600k1=800图3-17（1）确定模态质量、模态刚度矩阵M，K；（2）若确定模态力；（3）确定
7、稳定响应的表达式；（4）用模态位移法确定的响应，并指出各阶模态对响应的贡献，并列出当激振频率分别为时，的振幅随截取模态数变化的表格。解：（1） （2） （3） （4）阶数激振频率N=1N=2N=30.37420.37420.37490.49660.49660.4992-0.1102-0.1102-0.10573.11 当3.10 题中的柔度矩阵为（1）用模态加速度法，确定响应的表达式；（2）像3-10题一样，列出当激励频率分别为时的的振幅随截取模态数变化的表格，并对结果加以分析。解（1）（2）的振幅随截取模态数变化的表格阶数激振频率N=1N=2N=30.37500.37500.37500.49
8、910.49910.4992-0.10760.1076-0.1057和上一题所得结果比较可以看出：（1）两种方法所得的结果基本相同，且随项数增加，两者差别变小。（2）用模态加速度法的收敛速度比位移法要快。 例如 当时，用位移法各阶模态相加才收敛到0.3749，而用加速度法第一项就收敛到0.3750。第四章 连续弹性体的振动4.1一端固定，一端自由的均匀杆，在自由端有一弹簧常数为k的轴向弹簧支承（图4-23），试推导纵向振动的频率方程，并对两种极端情形：（1）,（2）,进行讨论。Lm,EAk图423解： 其边界条件为：处，；处，。将代入得：；得到纵向振动频率方程为当时，=0 （）当时， （）4.
9、2 一均质杆，两端都是自由端，开始时在端部用相等的力压缩，若将力突然移去，求其纵向振动。解：无外力作用时，边界条件为：时，有；时，有将它们代入振型函数得 ；得各阶固有频率为；各阶主振动的表达式为在一般情况下，振动可以表示为各阶主振动的叠加，即当时，有；将初始条件代入有由于上式要得到满足，必须有，这样导致，或（），代入得为了求出，上式两边均乘以，（）得到，4.3图4-24为一端固定，一端自由的圆等直杆。在自由端作用有扭矩，在t=0时突然释放，求杆自由端的振幅。解： a= m，GLxO图424无外力作用时，图示杆的边界条件为： 将其分被代入振型函数得：B=0 ; =0;得各阶固有频率为:= n=1,3,5,.各阶主振动的表达式为:在一般情况下，振动可以表示为各阶主振动的叠加，即当时，有 (1) (2)由（2）式可得 =0 （3）将（3）式代入（1）得：为了求出，上式两边均乘以,(m为正整数)，得 n=1,3,5,. 自由端的振幅是4.4一均质梁，一端固定，一端简支，试导出梁弯曲振动的频率方程，并写出固有振型的表达式。OLxEI解： 图示梁的边界条件为： 而：代入边界条件得： (1) (2) (3) （4）由（1），（2）式得 B=D=0；由（3），（4）式得
